Фейгин Борис Львович, ординарный профессор факультета математики, заведующий Лабораторией теории представлений и математической физики

Кандидатуру предлагает Рыбников Леонид Григорьевич от имени Ученого совета факультета математики НИУ ВШЭ за фундаментальные научные результаты в конформной теории поля, теории интегрируемых систем и теории представлений

Кандидатуру предлагает Рыбников Леонид Григорьевич от имени Ученого совета факультета математики НИУ ВШЭ за фундаментальные научные результаты в конформной теории поля, теории интегрируемых систем и теории представлений:

"Фейгин Борис Львович, 1953 года рождения, доктор физико-математических наук, ординарный профес­сор факультета математики Национального Исследовательского Университета Высшая Школа Экономи­ки, заведующий Лабораторией теории представлений и математической физики. Борис Львович Фейгин — выдающийся математик, пользующийся заслуженной международной славой. Он является ведущим российским специалистом в области бесконечномерных групп и алгебр Ли, их когомологий, нелинейных уравнений классической и квантовой физики, теории слоений и их характеристических классов, конформ­ной теории поля, теории деформаций, комбинаторики, автором более 200 научных работ по математике. Б.Л.Фейгин — приглашенный и пленарный докладчик многочисленных международных конференций, в том числе Международного Конгресса математиков в Киото в 1990 году, член редколлегий журнала РАН "Функциональный анализ и его приложения", а также международных журналов "Moscow Mathematical Journal" и "Transformation groups".

Одной из центральных тем научной деятельности Б.Л.Фейгина является изучение представлений ал­гебры Вирасоро. Эта теория послужила краеугольным камнем всей современной конформной теории поля и теории струн, она повлекла за собой лавину публикаций во всем мире, исчисляемую тысячами работ не только по математике, но и по теоретической физике. Так, термин интеграл Фейгина- Фукса являет­ся, вероятно, самым употребительным в теории минимальных моделей. Ключевое в этой области понятие модулярного функтора также по существу принадлежит Б.Л.Фейгину. Им были построены и изучены многочисленные примеры модулярных функторов.

Особое место в научном творчестве Б.Л.Фейгина занимают его работы по теории когомологий и пред­ставлений алгебр токов (аффинных алгебр). На них основывается вся теория WZW-моделей в конформной теории поля. Спектр приложений этих результатов необычайно широк. Неполный их список включает в себя следующие области. Во-первых, целый класс комбинаторных тождеств — от классических тож­деств Эйлера, Гаусса, Якоби, Макдональда до современных тождеств, по праву носящих имя Фейгина. Во-вторых, полное решение и классификация законов сохранения нелинейных уравнений математической физики (цепочка Тоды, иерархия Кадомцева-Петвиашвили), их обобщений и квантовых аналогов. Нако­нец, изучение центра аффинных алгебр на критическом уровне, которое позволило дать единообразное описание таких основопологающих объектов квантовой теории поля как W-алгебры, а главное — привело к решающему прорыву в реализации фантастической геометрической программы Ленглендса. Обсуждению этих результатов была посвящена целая конференция, проходившая летом 1995 года в Люмини. Вопро­сам конформной теории поля посвящен доклад самого Б.Л.Фейгина на Международном математическом Конгрессе в Киото в 1990 году.

Большое внимание Б.Л.Фейгин уделяет вопросам деформации (квантования) самых различных струк­тур классической математики. Так, исследование вопроса о деформациях характеристических классов (регуляторов) привело к созданию теории циклических гомологий, или аддитивной К-теории, легшей впо­следствии в основу некоммутативной дифференциальной геометрии А.Конна. Пионерские работы Б. Л. Фей­гина об эллиптических алгебрах послужили началом лавинообразно нарастающего потока статей в этой самой быстро развивающейся сегодня области математики.

Важной особенностью творчества Б.Л.Фейгнна является его неусыпная забота о молодых математи­ках. Многие его ученики стали крупными самостоятельными учеными. Достаточно назвать имена таких математиков, заслуживших международную известность, как Э.Френкель, Б.Цыган, П.Этингоф. Под его руководством защищено 15 кандидатских диссертаций. Общее же количество учеников Б.Л.Фейгина ис­числяется десятками; среди них не только москвичи, но и украинцы, американцы, японцы, китайцы, а также представители других национальностей. Таким образом, можно говорить о международной школе Фейгина".

Научные результаты Б.Л.Фейгина, полученные в 2010 - 2014 гг.

Интегрируемые системы и бесконечномерные алгебры Ли. Дринфельд и Соколов определили класс интегрируемых систем, обобщающих систему Кортевега-де-Фриса. Было показано, что эти интегри­руемые системы могут быть естественным образом проквантованы. Это квантование даёт коммутативные алгебры операторов, действующих в представлениях аффинных алгебр или W-алгебр. Такие системы коммутирующих операторов были построены двумя разными способами. В одном случае получается си­стема коммутирующих операторов, в физической терминологии называемых локальными операторами движения. Также была построена другая система образующих в этой коммутативной алгебре - нелокаль­ные операторы движения. Эта последняя конструкция использует квантовые аффинные алгебры Ли и их центр на "критическом уровне". Таким образом, получаются различные квантовые интегрируемые систе­мы. Само описание таких систем с помощью центра на критическом уровне позволяет прояснить способы нахождения собственных значений (анзац Бете). В работах последних лет получена новая интерпрета­ция анзаца Бете для тороидальных алгебр и квантовых W-алгебр в терминах шаффл-произведения. Это позволяет применить анзац Бете к ряду новых классов квантовых интегрируемых систем.

Функциональные модели представлений и тождества Роджерса-Рамануджана. Показано, что левая и правая части тождества Гордона - это характер абелинизации представлений алгебры Вирасо- ро из (2, 2p + 1) минимальных моделей. Характеры таких абеленизаций можно вычислять двумя разными способами, что и даёт тождество Гордона. Один из способов - формула Вейля для характеров, а второй способ использует функциональную реализацию абелинизированного представления. Этот подход, приме­нённый к аффинным алгебрам или ^-алгебрам, даёт большой класс тождеств, обобщающих тождество Гордона вместе с их представленческой интерпретацией.

Пространства модулей пучков и тороидальные алгебры. Изучен широкий класс представле­ний тороидальной алгебры типа А. Такого типа представления появляются в алгебраической геометрии, а именно само пространство представления в этом случае является прямой суммой эквивариантных К- теорий пространств модулей разных алгебраических объектов, например многообразий Гизекера модулей пучков на алгебраической поверхности или пространств Ламона. Действия операторов из тороидальной ал­гебры определяются явным образом при помощи естественных соответствий. Такие пространства модулей появляются как пространства инстантонов 4-мерной топологической теории поля. Физики сформулирова­ли так называемую АГТ гипотезу о связи геометрии пространств модулей с двумерными конформными теориями. Б.Л.Фейгиным и соавторами показано, как изучение представлений тороидальных алгебр поз­воляет доказывать такого рода гипотезы.

Список трудов 2010-2014 гг.

1. Mutafyan, G. S.; Feigin, В. L. Characters of representations of the quantum toroidal algebra plane partitions with "stands". (Russian) Funktsional. Anal, i Prilozhen. 48 (2014), no. 1, 46-60; translation in Funct. Anal. Appl. 48 (2014), no. 1, 36-48

2. M. Bershtein, B. Feigin, A. Litvinov, Coupling of two conformal field theories and Nakajima-Yoshioka blow-up equations. arXiv:1310.7281.

3. B. Feigin, M. Jimbo, T. Miwa, E. Mukhin, Branching rules for quantum toroidal gl(n). arXiv:1309.2147.

4. A.A. Belavin, M.A. Bershtein, B.L. Feigin, A.V. Litvinov, G.M. Tarnopolsky, Instanton moduli spaces and bases in coset conformal field theory, Commun. Math. Phys., 319(1), 269-301 (2013); arXiv:l 111.2803.

5. B. Feigin, M. Jimbo, T. Miwa, E. Mukhin, Representations of quantum toroidal gl_n, J. Algebra,380, 78-108 (2013); arXiv:1204.5378.

6. A. Buryak, B.L. Feigin, H. Nakajima, A simple proof of the formula for the Betti numbers of the quasihomogeneous Hilbert schemes, arXiv:1302.2789.

7. A. Buryak, B.L. Feigin, Homogeneous components in the moduli space of sheaves and Virasoro characters, J. Geom. Physics, 62(7), 1652-1664 (2012); arXiv:1111.6422.

8. H. Awata, B. Feigin, J. Shiraishi, Quantum Algebraic Approach to Refined Topological Vertex, J. High Energy Phys., 1203, 041 (2012); arXiv:1112.6074.

9. B. Feigin, M. Jimbo, T. Miwa, E. Mukhin, Quantum toroidal gl₁ algebra: plane partitions, Kyoto J. Math., 52(3), 621-659 (2012); arXiv:1110.5310.

10. A. Buryak, B.L. Feigin, Generating series of the Poincare polynomials of quasihomogeneous Hilbert schemes, arXiv:1206.5640.

11. I. Cherednik, B. Feigin, Rogers-Ramanujan type identities and Nil-DAHA, arXiv: 1209.1978.

12. A. Braverman, B. Feigin, L. Rybnikov, M. Finkelberg, A Finite Analog of the AGT Relation I: Finite W-Algebras and Quasimaps' Spaces, Commun. Math. Phys., 308(2), 457-478 (2011); arXiv: 1008.3655.

13. B. Feigin, E. Feigin, P. Littelmann, Zhu's algebras, C2-algebras and abelian radicals, J. Algebra, 329(1), 130-146 (2011); arXiv:0907.3962.

14. V. Belavin, B. Feigin, Super Liouville conformal blocks from N = 2 SU(2) quiver gauge theories, J. High Energy Phys., 1107, 079 (2011); arXiv:1105.5800.

15. B. Feigin, E. Feigin, M. Jimbo, T. Miwa, E. Mukhin, Quantum continuous Semiinfinite construction of representations, Kyoto J. Math., 51(2), 337-364 (2011); arXiv: 1002.3100.

16. B. Feigin, E. Feigin, M. Jimbo, T. Miwa, E. Mukhin, Quantum continuous Tensor products of Fock modules and Wn-characters, Kyoto J. Math., 51(2), 365-392 (2011); arXiv:1002.3113.

17. B.L. Feigin, A.I. Tsymbaliuk, Equivariant K-theory of Hilbert schemes via shuffle algebra, Kyoto J. Math., 51(4), 831-854 (2011); arXiv:0904.1679.

18. B. Feigin, M. Jimbo, T. Miwa, Gelfand-Zetlin Basis, Whittaker Vectors and a Bosonic Formula for the st_n+1 Principal Subspace, Publ. RIMS, 42(2), 535-551 (2011); arXiv:0907.2045.

19. B. Feigin, M. Finkelberg, I. Frenkel, L. Rybnikov, Gelfand-Tsetlin algebras and cohomology rings of Laumon spaces, Sel. Math. New Ser., 17(2), 337-361 (2011); arXiv:0806.0072.

20. B. Feigin, M. Finkelberg, A. Negut, L. Rybnikov, Yangians and cohomology rings of Laumon spaces, Sel. Math. New Ser., 17(3), 573-607 (2011); arXiv:0812.4656.

21. Б.Л. Фейгин, Абелианизация БГГ-резольвенты представлений алгебры Вирасоро, Функц. анализ и его прил., 45(4), 72-81 (2011) [B.L. Feigin, Abelianization of the BGG resolution of representations of the Virasoro algebra, Funct. Anal. Appl., 45(4), 297-304 (2011)].

22. B. Feigin, M. Jimbo, M. Okado (Eds.), New trends in quantum integrable systems. Proceedings of the infinite analysis 09, Kyoto, Japan, 27-31, July 2009. Dedicated to Tetsuji Miwa on the occasion on his 60th birthday., Hackensack, NJ: World Scientific, 2011, xvii, 498 p. ISBN 978-981-4324-36-6/hbk; 978-981-4324-37-3/ebook.

23. B. Feigin, E. Feigin, I. Tipunin, Fermionic formulas for (l,p) logarithmic model characters in ф₂д quasiparticle realisation, Advanced Studies in Pure Mathematics 61, 161-184 (2011) [Exploring new structures and natural constructions in mathematical physics. Collected papers of the conference upon the occasion of the retirement of Professor Akihiro Tsuchiya, Nagoya, Japan, March 5-8, 2007. Ed. by K. Hasegawa et al. Tokyo: Mathematical Society of Japan (ISBN 978-4-931469-64-8/hbk)]; arXiv:0704.2464.

24. B. Feigin, E. Frenkel, Quantization of soliton systems and Langlands duality, Advanced Studies in Pure Mathematics 61, 185-274 (2011) [Hasegawa, Koji (ed.) et al., Exploring new structures and natural constructions in mathematical physics. Collected papers of the conference upon the occasion of the retirement of Professor Akihiro Tsuchiya, Nagoya, Japan, March 5-8, 2007. Tokyo: Mathematical Society of Japan (ISBN 978-4-931469- 64-8/hbk)]; arXiv:0705.2486.

25. H. Awata, B. Feigin, A. Hoshino, M. Kanai, J. Shiraishi, S. Yanagida, Notes on Ding-Iohara algebra and ACT conjecture, RIMS Kokyoroku, 1765, 12-32 (2011); arXiv:1106.4088.

26. B. Feigin, E. Frenkel, V.T. Laredo, Gaudin models with irregular singularities, Adv. Math., 223(3), 873-948 (2010); math/0612798.

27. B. Feigin, E. Frenkel, L. Rybnikov, Opers with irregular singularity and spectra of the shift of argument subalgebra, Duke Math. J., 155 (2), 337-363 (2010); arXiv:0712.1183.

28. B. Feigin, A. Hoshino, J. Shibahara, J. Shiraishi, S. Yanagida, Kernel function and quantum algebras, arXiv:1002.2485.

29. B.L. Feigin, I.Yu. Tipunin, Logarithmic CFTs connected with simple Lie algebras, arXiv:1002.5047.