Математический анализ 2

2024/2025

Учебный год

RUS

Обучение ведется на русском языке

3

Кредиты

Кто читает:

Департамент больших данных и информационного поиска

Статус:

Курс по выбору

Когда читается:

2-й курс, 1, 2 модуль

Преподаватели

Владыкина Вероника Евгеньевна

Демешев Борис Борисович

Зароднюк Алёна Владимировна

Колесниченко Елена Юрьевна

Платонова Ксения Сергеевна

Радомский Артем Олегович

Чанга Марис Евгеньевич

Юделевич Виталий Викторович

Программа дисциплины

Аннотация

Дисциплина представляет из себя стандартный курс математического анализа 2-го года, ориентированный на студентов, специализирующихся в прикладной математике. Курс содержит числовые ряды, функциональные ряды, кратные интегралы. В рамках данного курса студенты так же познакомятся с рядами Фурье и преобразованием Фурье, которое смогут изучить более подробно в последующих курсах.

Цель освоения дисциплины

• Знать основы теории рядов, кратного интегрирования, криволинейных и поверхностных интегралов, рядов и преобразования Фурье.
• Уметь практически применять навыки работы с числовыми и функциональными рядами (включая ряды Тейлора и Фурье, производящие функции), кратными, криволинейными и поверхностными интегралами, преобразованием Фурье.
• Уметь решать задачи математического анализа численными методами (приближенное вычисление кратных интегралов, оценка скорости сходимости рядов и интегралов, метод градиентного спуска).
• Уметь самостоятельно решать нестандартные задачи повышенной сложности.
• Уметь строить логические цепочки и строгие математические доказательства.

Планируемые результаты обучения

• Знать основы теории рядов, кратного интегрирования, криволинейных и поверхностных интегралов, рядов и преобразования Фурье.
• Уметь практически применять навыки работы с числовыми и функциональными рядами (включая ряды Тейлора и Фурье, производящие функции), кратными, криволинейными и поверхностными интегралами, преобразованием Фурье.
• Уметь решать задачи математического анализа численными методами (приближенное вычисление кратных интегралов, оценка скорости сходимости рядов и интегралов, метод градиентного спуска).

Содержание учебной дисциплины

• Кратный интеграл Римана, необходимое условие интегрируемости, свойства интеграла. Множество лебеговой меры нуль.
• Свойства множеств лебеговой меры нуль. Топология R^n, критерий компактности в R^n.
• Теорема Вейерштрасса о непрерывной функции на компакте. Колебания функции на множестве и в точке. Теорема Кантора-Гейне о колебаниях функции на компакте. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману.
• Критерий Лебега (продолжение). Верхние и нижние суммы Дарбу, свойства. Верхний и нижний интегралы Дарбу, теорема об интегралах как пределах сумм Дарбу.
• Критерий Дарбу. Допустимые множества, интеграл по допустимому множеству. Критерий Лебега для допустимых множеств.
• Мера Жордана. Свойства интеграла Римана по допустимым множествам. Теоремы Фубини для бруска и для допустимого множества. Формула замены переменных в кратном интеграле Римана.
• Равномерная сходимость функциональной последовательности. Критерий Коши, теорема о предельном переходе, теоремы о непрерывности/интегрируемости/дифференцируемости предельной функции.
• Равномерная сходимость функционального ряда: Критерий Коши, теоремы о предельном переходе, о непрерывности/интегрируемости/дифференцируемости суммы ряда.
• Признаки Вейерштрасса, Дирихле, Абеля равномерной сходимости функциналного ряда.
• Степенные ряды, теорема Коши-Адамара. Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость степенного ряда. Разложение функций в степенной ряд, табличные разложения.
• Евклидовые и нормированные пространства. Основная тригонометрическая система. Ряды Фурье, экстремальное свойство коэффициентов Фурье. Полные системы. Критерий полноты ОНС, равенство Парсеваля.
• Полнота основной тригонометрической системы. Ядро Дирихле, ядро Фейера, частичная сумма ряда Фурье по Чезаро.
• Теорема Фейера о равномерной сходимости частичных сумм по Чезаро. Теоремы Вейерштрасса о приближении непрерывной функции тригонометрическими и алгебраическими многочленами.
• Лемма Римана. Условие Дини. Теорема о сходимости ряда Фурье в точке. Ряды Фурье в комплексной форме. Преобразование Фурье и его свойства.

Элементы контроля

• Домашнее задание
  Выдается после каждого Семинара и содержит 4-7 задач по теме Семинара.
• Коллоквиум
  Проходит в устной форме, студенту выдают билет с несколькими теоретическими вопросами, студенту дают 30-40 минут на подготовку, пользоваться какими-либо материалами запрещено.
• Контрольная работа
• Экзамен
  Экзамен проходит в письменной форме в аудитории (дистанционно для студентов, официально проходящих курс онлайн), пользоваться какими-либо материалами запрещено, длится 120 минут. Всего 5 задач.

Промежуточная аттестация

• 2024/2025 2nd module
  Итог = min(Округление(0.15 * ДЗ + 0.2*КЛ + 0.22 * КР+0.03*Л+0.1*Лаб + 0.35 * Э), 10) где ДЗ = min (10; средняя оценка за все домашние задания + О_сем), О_сем - дополнительный балл в размере 0, 0.5 или 1, который семинарист может высставить студенту за активное участие в работе семинаров, КЛ - оценка за коллоквиум, КР — оценка за контрольную работу, Л - оценка за решение дополнительных задач из листочка, Лаб - оценка за лабороторную работу Э — оценка за экзамен.

Список литературы

Рекомендуемая дополнительная литература

• Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2 : учебник: в 3 т., Фихтенгольц, Г. М., 2009

Авторы

• Кононова Елизавета Дмитриевна
• Сысоева Алевтина Александровна