Кто читает:: Кафедра компьютерной безопасности

Статус:: Курс обязательный

Когда читается:: 1-й курс, 2, 3 модуль

Преподаватель

Нестеренко Алексей Юрьевич

Полная версия программы учебной дисциплины Задать вопрос

Аннотация

Данная дисциплина относится к вариативной профильной части Профессионального цикла (Major), проводится на 1 курсе обучения и является обязательной. Для освоения учебной дисциплины студенты должны владеть базовыми школьными знаниями и компетенциями. Результаты освоения дисциплины используются в дальнейшем при изучении таких дисциплин, как Дискретная Математика, Комбинаторика, Математическая Логика, Теория Графов, Теория кодирования. Дисциплина Введение в Теорию Чисел обеспечивает приобретение знаний и умений в соответствии с государственным образовательным стандартом, формированию мировоззрения и развитию системного мышления. Она знакомит студентов с основными элементарными понятиями и методами, связанными с изучением свойств натуральных и целых чисел. Знания и практические навыки, полученные по дисциплине, используются студентами при изучении профессиональных дисциплин, а также при выполнении курсовых и домашних работ. Место дисциплины в структуре ООП специалитета. Дисциплина Теория Чисел относится к базовой части математического и естественнонаучного цикла. Она обеспечивает фундаментальные знания, и формирует умения и навыки, необходимые для изучения многих математических дисциплин и дисциплин инженерных направлений. Дисциплина реализуется в он-лайн формате

Цель освоения дисциплины

Ознакомить студентов с основными элементарными понятиями и методами, связанными с изучением свойств натуральных и целых чисел

Планируемые результаты обучения

Знать для каких p число -1 является квадратичным вычетом mod p и для каких - квадратичным невычетом mod p
Знать для каких p число 2 является квадратичным вычетом mod p и для каких - квадратичным невычетом mod p
Знать какие числа являются квадратичными вычетами
Знать какие элементы кольца вычетов mod m обратимы в этом кольце
Знать какой функцией определяется число обратимых элементов кольца вычетов mod m, и как она вычисляется
Знать квадратичный закон взаимности и как он применяется
Знать о существовании и единственности разложения натурального числа в произведение простых
Знать о существовании общего наибольшего делителя у любых двух натуральных чисел
Знать определение и основные свойства множеств натуральных, целых и рациональных чисел
Знать определение и основные свойства сравнений
Знать определение и свойства первообразных корней индексов
Знать определение и свойства символа Лежандра и формулы для его вычисления
Знать определение и свойства символа Якоби
Знать определение квадратичного вычета и невычета
Знать определение простого числа и о существовании бесконечного множества простых чисел
Знать формулировку и доказательство теорем Эйлера и Ферма
Знать что группа обратимых элементов и кольце вычетов является циклической
Знать что классы сравнимых друг с другом целых чисел mod m образуют кольцо с делителями нуля, если m - составное число и поле, если m - простое число
Уметь вычислять символ Лежандра
Уметь вычислять символ Якоби
Уметь вычислять Функцию Эйлера
Уметь находить общий наибольший делитель нескольких чисел
Уметь находить первообразные корни и индексы и уметь их применять
Уметь определять, является ли данное число простым
Уметь решать квадратные уравнения в кольце вычетов mod m
Уметь решать системы линейных сравнений
Уметь решать системы линейных сравнений
Уметь факторизовать данное натуральное число

Содержание учебной дисциплины

Числовая ось. Натуральные числа. Целые числа. Рациональные числа. Целая и дробная части числа. Метод математической индукции Формула бинома Ньютона. Число точек с целыми координатами в заданном множестве.
Делимость натуральных чисел. Делимость с остатком. Общий наибольший делитель нескольких целых чисел. Алгоритм Евклида.
Простые числа. Бесконечность множества простых чисел. Решето Эратосфена. Факторизация натуральных чисел.
Кольцо вычетов mod m. Группа обратимых элементов в этом кольце. Нахождение обратного элемента к обратимому элементу кольца вычетов mod m
Кольцо вычетов mod m как прямая сумма колец вычетов p^k, где p - простые числа, делящие число m, а p^k - наибольшая степень каждого такого p, делящая число m. Группа обратимых элементов в этом кольце как прямое произведение. групп обратимых элементов в указанных выше кольцах вычетов p^k. Применение к решению систем линейных сравнений.
Функция Эйлера и её вычисление. Теоремы Эйлера и Ферма. Кольцо вычетов mod p как поле характеристики p. Полиномы над произвольным полем.
Квадратичные вычеты и невычеты mod m. Символ Лежандра. Квадратичный закон взаимности.
Символ Якоби, его свойства и применение. Квадратичные вычеты и невычеты mod 2^k.
Цикличность группы обратимых элементов в кольце вычетов mod p^k, где p - нечётное простое число. Первообразные корни, индексы и их применение.

Элементы контроля

Первая письменная контрольная работа
Вторая контрольная письменная работа
Активность работы на семинаре
Набранные баллы за работу на семинаре
Выполнение домашней работы
Отчет о проделанной домашней работе
Наличие рукописных материалов с лекциями
Наличие рукописных материалов лекций необходимо для сдачи экзамена

Промежуточная аттестация

2024/2025 3rd module
0.4*(Оценка за первую контрольную, максимум: 4 + Оценка за вторую контрольную, максимум: 4 + Активность на семинарах, максимум: 2) + 0.6*(Оценка за экзамен, максимум: 10)*(Сданные домашние работы: 0 или 1)*(Наличие рукописных материалов: 0 или 1). Обратите внимание! При получении 0 баллов на устном экзамене (по завершении 3го модуля), экзаменующий преподаватель вправе поставить итоговую неудовлетворительную оценку по предмету, даже если студент набрал достаточное количество (девять и более) баллов за активность и контрольные работы.

Список литературы

Авторы

Нестеренко Алексей Юрьевич

Образовательная программа «Компьютерная безопасность»

Программа реализуется в партнерстве со Сбербанком РФ

Введение в теорию чисел

Преподаватель

Программа дисциплины