Кто читает:: Факультет математики

Статус:: Курс обязательный

Когда читается:: 2-й курс, 1, 2 модуль

Преподаватели

Клименко Алексей Владимирович

Пятов Павел Николаевич

Сапонов Павел Алексеевич

Сивкин Владимир Николаевич

Спиридонов Вячеслав Павлович

Шилин Иван Сергеевич

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Курс посвящён основам теории обыкновенных дифференциальных уравнений и включает в себя изучение общей теории ДУ (теоремы существования и единственности, зависимость от параметров), линейных ДУ, устойчивости решений.

Цель освоения дисциплины

Освоение основных теорем базовых разделов теории дифференциальных уравнений (теорем существования и единственности, теории линейных систем, теория устойчивости)
Освоение основных методов для явного решения и качественного исследования дифференциальных уравнений

Планируемые результаты обучения

Знание общих свойств линейных ОДУ (продолжимость решений, независимость решений в точке и в целом, уравнение Лиувилля-Остроградского). Умение применять их для анализа конкретных линейных ОДУ.
Знание основных свойств операторов Коши и преобразований потока. Умение вычислять их в простейших случаях.
Знание примеров ОДУ, где отсутствует продолжимость решений на всю область определения правой части
Знание результатов, связывающих локальное поведение системы и её линеаризации. Умение их применять к анализу конкретных ДУ.
Знание условий дифференцируемости решения ОДУ по параметрам и началым условиям. Умение применить их к исследованию конкретных семейств ОДУ.
Знание условий непрерывной зависимости решения ОДУ от параметров и начальных условий. Умение применить их к исследованию конкретных семейств ОДУ.
Знание условий существования и единственности решения ОДУ. Умение применить их к исследованию конкретных ОДУ.
Знание утверждений о продолжимости решений ОДУ. Применение их в исследовании конкретных ОДУ.
Умение анализировать устойчивость неподвижных точек ОДУ с помощью функций Ляпунова и Четаева, а также с помощью линеаризации векторного поля в окрестности особой точки.
Умение дифференцировать и искать разложения Тейлора решения конкретных ОДУ по параметрам и начальным условиям.
Умение производить для конкретных ОДУ переход от уравнений высокого порядка к системам, от неавтономных систем к автономным и выполнять простейшие преобразования фазовых координат и времени
Умение решать линейные ДУ и системы с постоянными коэффициентами, вычислять матричную экспоненту. Умение решать неоднородные линейные ОДУ, в том числе с квазимногочленами в правой части.
Умение решать ОДУ с разделяющимися переменными. Умение применять различные методы для сведения различных классов ОДУ (однородные уравнения и др.) к уравнениям с разделяющимися переменными.

Содержание учебной дисциплины

Элементарные свойства ОДУ и систем
Теорема о существовании и единственности решений ОДУ
Продолжение решений ОДУ
Непрерывная зависимость решений ОДУ от параметров и начальных условий
Оператор Коши и группа потока ОДУ
Гладкая зависимость решений ОДУ от параметров
Метод разделения переменных
Общие свойства линейных ОДУ и их систем
Линейные ОДУ с постоянными коэффициентами. Экспонента матрицы
Локальная теория дифференциальных уравнений вблизи особой точки
Устойчивость решений дифференциальных уравнений

Элементы контроля

Домашние задания
Домашние задания выдаются 1 раз каждые 2-3 недели. Работы (сканы/фото) присылаются в указанный срок с корпоративной почты студента закреплённому за ним учебному ассистенту по дисциплине
Проверочные работы на семинарах
Коллоквиум
Контрольная работа
Письменный экзамен

Промежуточная аттестация

2024/2025 2nd module
0,12*(Домашние задания)+0,21*(Проверочные работы)+0,12*(Коллоквиум)+0,18*(Контрльная работа)+0,4*(Экзамен)

Список литературы

Авторы

Клименко Алексей Владимирович
Ильяшенко Юлий Сергеевич
Сапонов Павел Алексеевич

Бакалаврская программа «Совместный бакалавриат НИУ ВШЭ и ЦПМ»

Адрес:

Дифференциальные уравнения

Преподаватели

Программа дисциплины