Введение в алгебраическую топологию

2024/2025

Учебный год

RUS

Обучение ведется на русском языке

6

Кредиты

Лучший по критерию «Полезность курса для Вашей будущей карьеры»

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Кто читает:

Факультет математики

Статус:

Дисциплина общефакультетского пула

Когда читается:

1, 2 модуль

Преподаватель

Казарян Максим Эдуардович

Программа дисциплины

Аннотация

"Алгебраическая топология -- область математики, появившаяся и бурно развившаяся в 20-м веке, которая продолжает развиваться и в 21-ом веке, двигаясь всё больше в сторону алгебры.Удивительным образом помимо самостоятельного развития алгебраическая топология стала причиной возникновения многих других разделов математики, самым ярким примером из которых является гомологическая алгебра.Многочисленные методы, направленные на вычисление гомотопических групп сфер, послужили отправной точкой множества теорий нашедших применения в других разделах математики.Удачное сочетание геометрических идей с формализованными алгебраическими конструкциями позволяют эффективно изучать не только топологические инварианты, но и множество иных математических структур.На данный момент уже 14 филдсовских медалей были вручены за заслуги по алгебраической топологии, так что если Вы планируете получать высшие математические награды, то Вам необходимо познакомиться с этим важным разделом математики.Это первая часть годового курса, которая больше направлена на изучение понятий групп гомологий и старших гомотопических групп.Вторая часть будет иметь больший упор на отдельные вычисления и методы при этом использующиеся."

Цель освоения дисциплины

• -

Планируемые результаты обучения

• Освоение метода диаграммного поиска для доказательства точности последовательности. Умение применять длинную точную последовательность для вычисления гомологий конкретных пространств
• Освоение понятия гомотопической эквивалентности
• Получение навыка вычисления гомологий цепных комплексов
• Умение выбрать подходящую модель теории гомологий для решения конкретных задач
• Умение вычисления индекса пересечений подмногообразий, заданных конкретными уравнениями
• Умение определения ориентации пересекаемых циклов. Вычисление колец когомологий простейших пространств: проективных пространств, произведений сфер и надстроек
• Умение применения методов дифференциальной геометрии для решения топологических задач
• Умение применения функций Морса для исследования топологии конкретных пространств.
• Умения вычисления симплициальных гомологий простейших пространств: окружности, тора, симплекса и сферы

Содержание учебной дисциплины

• Топологические пространства и операции над ними
• Цепной комплекс
• Симплициальные гомологии
• Длинная точная последовательность
• Клеточные и сингулярные гомологии
• Гомологии многообразий
• Индекс пересечения и степень отображения
• Умножение в когомологиях
• Теория Морса

Элементы контроля

• Активность
• КР
• Экзамен

Промежуточная аттестация

• 2024/2025 2nd module
  40% (оценка за промежуточную контрольную), 60% (итоговый письменный экзамен) + 1–2 дополнительных балла за решения задач семинаров.

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Allen Hatcher. (2002). Algebraic topology. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsbas&AN=edsbas.87FE219C
• Современная геометрия : методы теории гомологий, Дубровин, Б. А., 1984

Рекомендуемая дополнительная литература

• Элементарная топология : учебное пособие / О. Я. Виро, О. А. Иванов, Н. Ю. Нецветаев, В. М. Харламов. — Москва : МЦНМО, 2010. — 352 с. — ISBN 978-5-94057-587-0. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/9313 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.

Авторы

• Иконописцева Юлия Вахтанговна
• Хорошкин Антон Сергеевич