Кто читает:: Департамент математики

Статус:: Курс обязательный

Когда читается:: 1-й курс, 1, 2 модуль

Преподаватель

Широков Дмитрий Сергеевич

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Дисциплина «Линейная алгебра» предназначена для студентов 1-го курса бакалавриата направление 38.03.01. Экономика, образовательные программы «Экономика», «Экономика и статистика». Формат изучения дисциплины - без использования онлайн курса. В курсе студенты познакомятся с базовыми знаниями теории линейных и евклидовых пространств, матричного анализа, аналитической геометрии и линейного программирования. Материал иллюстрирован примерами приложения основных результатов к построению и анализу экономических моделей. В период карантинных мер, все занятия и формы контроля проводятся дистанционно.

Цель освоения дисциплины

Добиться усвоения студентами теоретических основ, базовых результатов и теорем линейной алгебры, теории матриц и аналитической геометрии, а также основных математических приемов и правил формального анализа и решения различных математических задач на основе полученных теоретических знаний.
Подготовить слушателей к чтению современных текстов по экономической теории, насыщенных векторными, матричными и операторными обозначениями.
Обеспечить запросы других разделов математики, использующих возникающие в линейной алгебре конструкции.
Научить слушателей давать геометрическую интерпретацию многомерным объектам и строить аналитическое описание геометрическим соотношениям.
Продемонстрировать возможность бескоординатного описания линейных и квадратичных функций, подготавливая переход к изучению функционального анализа.
Выработать у слушателей навыки решения типовых задач, способствующих усвоению основных понятий, а также задач, способствующих развитию начальных навыков научного исследования.
Развить умение логически мыслить, оперировать с абстрактными объектами и быть корректным в употреблении математических понятий и символов для выражения количественных и качественных отношений.

Планируемые результаты обучения

Студент вычисляет определитель матрицы, решает системы линейных уравнений методом Крамера.
Студент вычисляет скалярные произведения векторов. Осуществляет ортогонализацию векторов. Находит расстояние от вектора до подпространства.
Студент вычисляет собственные значения и векторы линейного оператора (матрицы). Проверяет невырожденность матрицы с помощью теоремы Гершгорина о локализации спектра. Определяет сингулярные числа матрицы. Находит спектр стохастических матриц.
Студент находит координаты вектора в различных базисах, вычисляет матрицу линейного оператора в различных базисах.
Студент осуществляет операции над векторами и матрицами.
Студент осуществляет операции над векторами, устанавливает линейную зависимость и независимость векторов. Приводит матрицу к ступенчатому виду.
Студент приводит квадратичную форму к каноническому виду. Исследует ее на знакоопределенность
Студент проверяет матрицу на невырожденность; обращает невырожденные матрицы.
Студент раскладывает матрицы по матрицам полного ранга. Находит псевдорешение неоднородной несовместной или неопределенной системы линейных уравнений
Студент решает прямую и двойственную задачи линейного программирования
Студент решает системы линейных уравнений методом Гаусса и Гаусса-Жордана. Выражает решение неоднородной системы через одно частное решение неоднородной системы и фундаментальную систему решений приведенной однородной системы.
Студент решает стандартные геометрические задачи с помощью алгебраических методов.
Студент умеет решать вычислительные задачи над полем комплексных чисел.
Студент умеет производить арифметические операции с числовыми векторами. Студент вычисляет ранг системы векторов и матриц путем приведения матрицы к каноническому виду.
Студент производит арифметические операции с матрицами.
Студент вычисляет определители матриц, используя их основные свойства
Студент вычисляет обратную матрицу.
Студент решает системы линейных уравнений методом Гаусса и Гаусса-Жордана.
Студент вычисляет псевдообратную матрицу и находит нормальное псевдорешение системы линейных уравнений.
Студент получает представление о концепции линейного пространства и линейного преобразования. Студент вычисляет координаты вектора и матрицу линейного оператора в различных базисах линейного пространства.
Студент вычисляет собственные значения и собственные векторы линейных операторов и матриц. Студент проверяет матрицу на диагонализуемость и приводит ее к диагональному виду. Студент исследует матрицу на продуктивность.
Студент приводит симметричную матрицу к диагональному виду с помощью ортогонального преобразования. Студент приводит квадратичную форму к каноническому виду. Студент исследует квадратичную форму на знакоопределенность.
Студент приводит матрицу к жордановой форме. Студент использует жорданову форму матрицы для вычисления степени матрицы.
Студент овладевает концепцией евклидова пространства. Студент раскладывает вектор по ортогональному и ортонормированному базису. Студент осуществляет ортогонализацию базиса. Студент находит расстояние от вектора до подпространства.
Студент решает простейшие задачи линейного программирования. Студент находит решение двойственной задачи линейного программирования с помощью теорем двойственности.

Содержание учебной дисциплины

Предварительные понятия. Предмет линейной алгебры и матричного анализa.
Определитель матрицы.
Матричная алгебра.
Невырожденные матрицы. Обратная матрица.
Решение системы линейных уравнений. Метод Гаусса и Гаусса-Жордана.
Разложение матрицы по матрицам полного ранга. Нормальное псевдорешение.
Линейные пространства и линейные операторы.
Евклидово пространство.
Собственные значения и собственные векторы линейного оператора (матрицы).
Симметричные и ортогональные матрицы и их спектры. Билинейные и квадратичные формы.
Элементы линейного программирования.
Элементы аналитической геометрии.

Элементы контроля

Контрольная работа 1
Контрольная работа 2
Экзамен

Промежуточная аттестация

2024/2025 2nd module
0.25 * Контрольная работа 1 + 0.25 * Контрольная работа 2 + 0.5 * Экзамен

Список литературы

Авторы

Широков Дмитрий Сергеевич
Поляков Николай Львович

Бакалаврская программа «Экономика и статистика»

Линейная алгебра

Преподаватель

Программа дисциплины