Delivered at:: Big Data and Information Retrieval School

Course type:: Elective course

When:: 3 year, 3, 4 module

Instructors

Demidova, Daria

Kaledin, Maxim

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Случайные процессы возникают в тот момент, когда одних случайных величин становится недостаточно. Цены на бирже, процентные ставки, как и некоторые физические явления: диффузия, взаимодействие огромного числа частиц -- демонстрируют, что нужен более общий взгляд, учитывающий также изменения случайных величин во времени. С другой стороны, можно попробовать внести случайность и обыкновенные дифференциальные уравнения станут стохастическими. На таких уравнениях строится почти вся финансовая математика, но особенный новый интерес стохастические дифференциальные уравнения приобрели несколько лет назад, положив начало диффузионным моделям, известным многим под вывеской Midjourney и StableDiffusion. Этот курс для тех, кто знаком с теорией вероятности и базовыми математическими дисциплинами и хотел бы пойти дальше, не забывая о практической стороне. Первая половина курса будет посвящена теории случайных процессов и центральными примерами для нас будут гауссовские процессы, цепи Маркова, Винеровский, Пуассоновский и связанные с ними процессы. Вторая часть представит стохастические интегралы и стохастические дифференциальные уравнения в контексте нескольких практических задач.

Цель освоения дисциплины

Уметь использовать формулу Ито и другие формулы из теории стохастических интегралов.
Уметь применять теорию стохастических дифференциальных уравнений для решения задач оценивания процессов, предсказания и фильтрации.
Знать и уметь применять на практике основные приёмы работы со стохастическими диффузиями.

Планируемые результаты обучения

Знать основные приёмы констурирования случайных процессов.
Уметь проводить базовое исследования случайных процессов с помощью распределений и ковариационных функций
Знать и уметь применять и оценивать модели на основе Винеровского процесса.
Знание и умение применения и оценивания модели на основе Винеровского процесса.
Знать и уметь применять и оценивать модели на основе цепей Маркова и Марковских процессов.
Знать основные факты и уметь применять на практике приёмы из области мартингалов
Знать основные модели на основе стохастических дифференциальных уравнений

Содержание учебной дисциплины

Случайные процессы, определения и конструкции.
Винеровский процесс.
Процессы на основе Винеровского.
Цепи Маркова.
Пуассоновские процессы.
Мартингалы.
Процессы Леви.
Интеграл Ито, конструкция и свойства.
Приёмы вычисления интеграла Ито.
Стохастические дифференциальные уравнения.
Задача фильтрации для стохастических дифференциальных уравнений.
Задача фильтрации для стохастических дифференциальных уравнений (2).
Марковские процессы, диффузии, основные понятия.
Диффузии, уравнения Колмогорова, Фоккера-Планка.
Инвариантные распределения, обратимость диффузий.

Элементы контроля

Домашнее задание 1
Выдаётся постепенно до лекции 3 по материалам пройденного с дедлайном на лекции 4, включает в себя теоретические задачи и практические задания в python ноутбуке. Оценивается из 100 баллов. Допускается сдача в течение недели после дедлайна со штрафом 30%, далее решения не принимаются.
Домашнее задание 2
Выдаётся постепенно примерно после лекции 4 по материалам пройденного и с дедлайном на лекции 8, включает в себя теоретические задачи и практические задания в python ноутбуке. Оценивается из 100 баллов. Допускается сдача в течение недели после дедлайна со штрафом 30%, далее решения не принимаются.
Домашнее задание 3
Выдаётся постепенно примерно после лекции 10 по материалам пройденного и с дедлайном лекции 14, включает в себя теоретические задачи и практические задания в python ноутбуке. Оценивается из 100 баллов. Допускается сдача в течение недели после дедлайна со штрафом 30%, далее решения не принимаются.
Домашнее задание 4
Выдаётся постепенно примерно после лекции 14 по материалам пройденного и с дедлайном на лекции 16 на 2 недели, включает в себя теоретические задачи и практические задания в python ноутбуке. Оценивается из 100 баллов. Допускается сдача в течение недели после дедлайна со штрафом 30%, далее решения не принимаются.
Экзамен
Экзамен проводится в устной форме. Студенту даётся теоретический билет и задача, время на подготовку 40 минут, в это время можно пользоваться всем. После этого студент обсуждает билет и задачу с принимающим, который также может задать дополнительные вопросы, на которые студент должен ответить с ходу без подготовки, дополнительного времени не предоставляется. Ответ студента оценивается в целом по шкале от 0 до 10 баллов.

Промежуточная аттестация

2023/2024 4th module
Итог = Округление(0.6 * ДЗ + 0.4 * Э), где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, Э — оценка за экзамен.

Bachelor’s Programme 'Applied Mathematics and Information Science'

Stochastic Calculus

Instructors

Программа дисциплины

Аннотация

Цель освоения дисциплины

Планируемые результаты обучения

Содержание учебной дисциплины

Элементы контроля

Промежуточная аттестация

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

Рекомендуемая дополнительная литература