Delivered at:: Faculty of Mathematics

Course type:: Elective course

When:: 3 year, 3, 4 module

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

В курсе механики студенты познакомятся с математическими основами одной из важнейших областей физики - классической механики. На примере простых и фундаментальных моделей будут объяснены принципы лагранжева и гамильтонова подхода в теоретической механике и продемонстрированы приложения современного математического аппарата: вариационного исчисления, теории дифференциальных уравнений, теории групп и алгебр Ли. Полученные при освоении дисциплины знания и навыки пригодятся в дальнейшем при освоении курсов вариационного исчисления и гамильтоновой механики, дифференциальной геометрии и классической теории поля, квантовой механики и квантовой теории поля.

Цель освоения дисциплины

Познакомить студентов с принципами построения математических моделей физических явлений на примере механических систем с конечным числом степеней свободы. Выработать практические навыки обращения с математическим аппаратом теоретической механики: уравнениями Эйлера-Лагранжа и уравнениями Гамильтона; основами вариационного исчисления и принципом наименьшего действия; методами исследования симметрий физических моделей и теоремой Э. Нётер; пуассоновыми структурами.

Планируемые результаты обучения

- Умение строить простейшие механические модели, определять число степеней свободы, структуру конфигурационного пространства, выписывать уравнения движения
Получение практического навыка вычисления скобок Пуассона различных физических величин, умение находить ограничение вырожденных скобок на симплектические листы, умение выполнять канонические преобразования по заданной производящей функции.
Решение уравнения Ньютона для одномерной системы через закон сохранения энергии, умение строить и анализировать качественный фазовый портрет одномерной механической системы.
Умение находить вариацию действия системы и недостающие граничные условия, умение находить симметрии действия и строить по ним Нетеровские интегралы движения
Умение находить группу симметрий по интегралам движения, умение вычислять инфинитезимальные преобразования наблюдаемых под действием группы симметрий.
Умение переходить к криволинейным координатам (цилиндрическим и полярным), находить траектории движения в Ньютоновом гравитационном потенциале, умение выводить законы Кеплера
Умение строить гамильтониан системы, находить и решать гамильтоновы уравнения движения.
Умение строить лагранжиан данной механической модели, выписывать уравнения Эйлера-Лагранжа, находить простейшие законы сохранения по циклическим координатам, строить энергию системы

Содержание учебной дисциплины

Основные понятия классической ньютоновской механики.
Одномерные системы
Движение в центральном поле
Принцип Даламбера. Уравнения Эйлера-Лагранжа
Вариационные методы. Принцип наименьшего действия и теорема Нетер
Гамильтонов формализм.
Скобки Пуассона и канонические преобразования
Законы сохранения в гамильтоновом формализме.

Элементы контроля

Homework
7-8 листков с задачами, выдаются примерно раз в 2 недели
3 контрольных работы в течение семестра
Контрольные проводятся в течение полугодия примерно каждые 1.5 месяца.
мини-контрольные
мини-контрольные проводятся на семинарских занятиях в течение семестра, примерно 1 раз в 2 недели. Продолжительность - 10-15 минут
Письменный экзамен

Промежуточная аттестация

2024/2025 4th module
0.15 * 3 контрольных работы в течение семестра + 0.15 * 3 контрольных работы в течение семестра + 0.075 * Homework + 0.075 * Homework + 0.25 * Письменный экзамен + 0.15 * мини-контрольные + 0.15 * мини-контрольные

Список литературы

Авторы

Пятов Павел Николаевич
Сапонов Павел Алексеевич

Bachelor’s Programme 'Joint Bachelor's Programme with the Centre for Teaching Excellence'

Contacts

Mechanics

Программа дисциплины