Математическое обоснование расщепления спектра и билокализации состояний при координатном и импульсном туннелировании в одномерных квантовых системах

В диссертационной работе рассмотрена задача о построении квазиклассической асимптотики дискретного спектра и соответствующих стационарных состояний одномерного оператора Шредингера при резонансном туннелировании. В диссертации рассмотрены две основных модели: туннелирование в несимметричном двуямном потенциале на прямой и импульсное туннелирование частицы в потенциальном поле на окружности. Для несимметричного двуямного потенциала построен критерий возникновения туннельного резонанса, получены необходимые и достаточные условия билокализации стационарных состояний, построены явные асимптотические формулы для величины расщепления в случае высоких энергетических уровней и для энергий, близких к положениям  равновесия потенциала. Для задачи о динамическом туннелировании предложен общий операторный метод получения асимптотических формул для величины туннельного расщепления энергий. В качестве примера рассмотрена задача  туннелировании частицы на окружности, в этом случае, предложенный метод позволил получить единую формулу для величины туннельного расщепления, применимую как в случае аналитического потенциала, так и для потенциала конечной гладкости.