Научно-исследовательский семинар "Дополнительные главы алгебры"

2024/2025

Учебный год

RUS

Обучение ведется на русском языке

3

Кредиты

Кто читает:

Департамент прикладной математики

Статус:

Курс обязательный

Когда читается:

2-й курс, 1, 2 модуль

Преподаватели

Кочетков Юрий Юрьевич

Малыгина Екатерина Сергеевна

Парусникова Анастасия Владимировна

Программа дисциплины

Аннотация

1. Бинарные операции и их свойства. 2. Группы. Циклические группы, абелевы группы.3. Порядок группы и порядок элемента. 4. Подгруппа и ее порядок. 5. Числовые группы Z_n и Z_n^*. Их свойства.6. RSA кодирование.7. Неабелева группа диэдра.8. Методы построения больших групп из меньших: прямые суммы и полупрямые суммы.9. Группа перестановок S_n. Четные и нечетные перестановки. Группа A_n.10. Простые группы. Группа A_5 проста.11. Группы преобразований, орбиты и формула Бернсайда.12. Правильные многогранники и их группы вращений.13. Сложение точек на кубической кривой. 14. Кубические кривые над конечными полями и эллиптическое кодирование.15. Кольца и идеалы.16. Кольца многочленов и идеалы в этих кольцах. Теорема о базисе.17. Многообразия. Соответствие идеал-многообразие. Теорема о нулях.18. Базис Гребнера и решение систем. Примеры.19. Поля. Расширение полей.20. Построение конечных полей. 21. Поля алгебраических чисел.

Цель освоения дисциплины

• Знакомство с понятиями теории групп и теории групп преобразований как основы значительной части математического аппарата комбинаторики, теории графов и криптографических схем.
• Знакомство с теорией идеалов в кольцах многочленов — аппаратом решения полиномиальных систем.
• Знакомство с группой точек на кубической кривой — аппаратом эллиптического кодирования.
• Освоение основных приемов решения практических задач по темам дисциплины.

Планируемые результаты обучения

• Освоить фундаментальные концепции теории групп, включая бинарные операции, группы малых порядков, циклические и абелевы группы. Научиться различать различные типы групп, определять порядок элементов, а также понимать структуру подгрупп и способы построения новых групп с помощью прямых и полупрямых сумм.
• Получить навыки использования групп и полей для решения прикладных задач, таких как RSA-кодирование и эллиптическое кодирование. Научиться применять алгебраические методы для решения геометрических задач с помощью базиса Грёбнера, а также работать с кубическими кривыми над конечными полями, вычисляя порядки элементов в этих группах.
• Научиться использовать формулу Бернсайда для нахождения числа орбит в группах преобразований, а также изучить симметрии правильных многогранников и их группы вращений. Научиться рименять теоретические результаты для анализа симметрий в различных математических и прикладных задачах, таких как перечисление графов.
• Освоить основные свойства колец и идеалов, включая идеалы в кольцах многочленов, и изучат теорему о базисе. Научиться применять эти знания для исследования соответствия между идеалами и многообразиями в контексте теоремы о нулях. Работа с базисом Грёбнера позволит решать системы алгебраических уравнений, что особенно важно в алгебраической геометрии и теории чисел.

Содержание учебной дисциплины

• Бинарные операции, группоиды, изоморфизм группоидов, свойства бинарных операций.
• Группы. Группы малых порядков. Циклические и абелевы группы. Порядок элемента. Автоморфизм.
• Группы Zn и Zn* и их свойства. RSA кодирование
• Прямые суммы и структура групп Zn*. Группа диэдра.
• Группы диэдра и полупрямые суммы. Полупрямые суммы — общий случай.
• Группа S(n). Цикловая запись. Четность. Классы перестановок. Группа S(n) как полупрямая сумма. Простота группы A(5).
• Правильные многогранники и их группы вращений.
• Группы преобразований, орбиты и формула Бернсайда.
• Формула Бернсайда и перечисление графов. Группы вращений.
• Кольца и идеалы. Идеалы в кольцах многочленов. Теорема о базисе.
• Многообразия. Соответствие идеал — многообразие. Теорема о нулях.
• Базис Грёбнера. Решение геометрических задач с использованием базиса Грёбнера.
• Сложение точек на кубической кривой.
• Кубические кривые над конечными полями как конечные абелевы группы. Эллиптическое кодирование.

Элементы контроля

• Письменные работы
• Экзамен

Промежуточная аттестация

• 2024/2025 2nd module
  0.4 * Письменные работы + 0.6 * Экзамен

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Алгебра, Ленг, С., 1968
• Курс высшей алгебры : учебник для вузов, Курош, А. Г., 2005
• Лекции по арифметическим алгоритмам в криптографии : учеб. пособие для вузов, Черемушкин, А. В., 2002

Рекомендуемая дополнительная литература

• Эллиптические кривые, Кнэпп, Э., 2004

Авторы

• Преснова Анна Павловна
• Крепкер Виктор Алексеевич