Уравнение Эйлера-Дарбу-Пуассона и бегущие волны

Представлены методы нахождения точных решений волновых уравнений с переменными коэффициентами, описывающих распространение волн в сильно неоднородных средах, которые основаны на различных преобразованиях, приводящих исследуемые уравнения к уравнению Эйлера-Дарбу-Пуассона. В качестве модели для поиска точных решений выбраны уравнения мелкой воды переменной глубины. Первым из подходов для поиска точных решений является представление неизвестной функции смещения водной поверхности (или скорости) в виде произведения амплитуды и новой неизвестной функции, зависящей от времени и от фазы (mapping technique). Показано, что для определенных конфигураций среды, уравнения мелкой воды сводятся к уравнению Эйлера-Дарбу-Пуассона. Благодаря чему для определенных видов профилей дна (переменных коэффициентов волнового уравнения) получены точные решения, представимые в виде двух обобщенных бегущих волн, распространяющихся в разные стороны (безотражательное распространение). Приводится детальный анализ полученного точного решения. Также представлен другой метод трансформации линейных уравнений мелкой воды, основанный на обобщении преобразования Кэрриера-Гриспана, хорошо известного в теории наката нелинейных волн на плоский откос. Благодаря нему исходные уравнения для волн в бассейне с произвольной батиметрией сводятся к волновому уравнению, из которого можно одновременно получить и смещение свободной поверхности, и скорость течения. Получены точные решения в элементарных функциях для подводных гор определенной формы. Показано, что при движении с более пологого склона на более резкий форма волны будет интегрироваться определенное количество раз, причем максимальная амплитуда достигается не на самой вершине горы.