Проблема Шпехта и гипотеза Гельфанда

Пусть $F$ свободная некоммутативная про-$p$ группа, и пусть $\Delta$ коммутативное нетерово полное локальное кольцо с максимальным идеалом $I$, такое что $\Delta/I$ конечное поле характеристики $p$.\\ Определим про-$p$ группу \[GL_d^1(\Delta) = \ker\left( GL_d(\Delta) \xrightarrow{\Delta\to\Delta/I} GL_d(\Delta/I) \right)\] \begin{itemize} \item E.И.\ Зельманов (\cite{Zelmanov1}, ~\cite{Zelmanov2}) показал, что $F$ не может быть непрерывно вложена в $GL_d^1(\Delta)$ для $p\gg d$. \item А.Н.\ Зубков~\cite{Zubkov} доказал, что $F$ не может быть непрерывно вложена в $GL_2^1(\Delta)$ для $p\neq2$. \item Д.\ Бен-Эзра и Е.И.\ Зельманов~\cite{Ben-Ezra-Zelmanov} доказали, что и для\\$d=2, p=2, \mathrm{char}(\Delta)=2$ имеет место такой же результат. \end{itemize} Цель данной статьи ~——- сделать обзор подходов для $2\times2$ матриц, и показать, что они обобщаются на случай $p=2$ и $\mathrm{char}(\Delta)=4$.\\ Кроме того, E.И.\ Зельманов показал в ~\cite{Zelmanov1}, что гипотеза о нелинейности про-$p$ групп тесно связана с PI-теорией. Во второй части работы мы изучаем связь между PI-теорией (приведены методы А.В.\ Гришина на элементарном языке) и гипотезой И.М.\ Гельфанда~\cite{Gelfand} о конечномерности гомологий алгебр Ли векторных полей. Таким образом, можно видеть, что работа в основном посвящена изучению комбинаторики подстановок.