Master
2020/2021
Mathematics of Science
Category 'Best Course for Broadening Horizons and Diversity of Knowledge and Skills'
Category 'Best Course for New Knowledge and Skills'
Type:
Compulsory course (Joint Master's Programme with the Centre of Teaching Excellence)
Area of studies:
Mathematics
Delivered by:
Faculty of Mathematics
Where:
Faculty of Mathematics
When:
1 year, 1, 2 module
Mode of studies:
offline
Instructors:
Pavel Semenov
Master’s programme:
Joint Master's Programme with the Centre of Teaching Excellence
Language:
English
ECTS credits:
5
Contact hours:
60
Course Syllabus
Abstract
Настоящая дисциплина относится к циклу математических и естественнонаучных дисциплин и блоку дисциплин, обеспечивающих подготовку магистра (1 курс) направления подготовки «Совместная подготовка ВШЭ и ЦПМ». Предназначена для активизации математических знаний в области элементарной математики, полученных на предыдущих стадиях обучения и стимулирования интереса к проблемам творческого обучения.
Learning Objectives
- Сочетание фундаментальных вопросов и принципов оснований математики с конкретным изучением визуализируемых математических объектов, исследование которых в истории науки и в современной математике максимально ясно иллюстрирует механизм реального действия этих принципов.
- Знакомство с историей формирования понятия «Линия» от наивных точек зрения до общего подхода к линии, как к одномерному континууму
- Демонстрация того, как при реальном исследовании линий в истории математики возникали и формировались основы математического анализа, аналитической и дифференциальной геометрии, топологии, геометрии фракталов;
- Активизация математических знаний в области элементарной математики, полученных на предыдущих стадиях обучения;
- Выработка понимания взаимосвязи между проблемами истории науки и проблемами преподавания математики в высшей и средней школе
- Стимулирование интереса к проблемам творческого обучения
Expected Learning Outcomes
- Способен использовать основные положения курса при изучении дисциплин: "История математики в контексте мировой истории", НИС магистерской программы, "Теоретические основы школьного курса математики", также при прохождении педагогической практики и работе над магистерской диссертацией
Course Contents
- Подход Г. Кантора и К. Жордана к определению плоской линии.Основные результаты Г. Кантора в теории множеств. Негомеоморфность отрезка и квадрата. Кривые Пеано и их свойства.
- Канторовское множество и его свойства.Решение СН для замкнутых числовых множеств. Универсальность (проективная) канторова множества. Любой нульмерный совершенный компакт гомеоморфен канторову множеству. Метод обратных спектров.
- Различные определения метрических компактов.Свойства компактов. Непрерывные числовые функции и непрерывные отображения на компакте. Универсальность (иньективная) гильбертова куба в классе компактов.
- Связность, свойства связных пространств.Связность и линейная связность в метрических пространствах. Связность и сцепленность компактов. Связность и локальная связность, их сохранение при непрерывных отображениях компактов.
- Континуумы и их свойства.Континуумы Серпинского. Теорема Хана – Мазуркевича: внутренняя характеризация жордановых кривых. Ковер Серпинского и его свойства. Универсальность в классе канторовых линий.
- Начала теории размерности.Нульмерные и одномерные компакты. Определение линии по П. С. Урысону. Фрактальные объекты. Мера Хаусдорфа, хаусдорфова размерность и их свойства.
- Классические плоские кривые.Циклоида и астроида. Кардиоида и улитка Паскаля. Овалы Декарта, Кассини. Лемниската. Циссоида Диоклеса и Декартов лист. Строфоида и трисектрисса Маклорена. Спирали Архимеда, Галилея. Спираль Ферма. Логарифмическая спираль. Цепная линия и трактрисса.
Interim Assessment
- Interim assessment (2 module)0.25 * Выступление на семинаре + 0.25 * Самостоятельная работа в течение семестра + 0.5 * Экзамен
Bibliography
Recommended Core Bibliography
- Лекции по математическому анализу, Львовский, С. М., 2008
- Математический анализ. Т. 1: ., Зорич, В. А., 2015
- Математический анализ. Т. 2: ., Зорич, В. А., 2015
Recommended Additional Bibliography
- Гантмахер, Ф. Р. Лекции по аналитической механике [Электронный ресурс] : Учеб. пособие для вузов / Ф. Р. Гантмахер; Под ред. Е. С. Пятницкого. - 3-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 264 с. - ISBN 978-5-9221-0067-0.