Bachelor
2020/2021
Theory of Complex Functions
Category 'Best Course for Broadening Horizons and Diversity of Knowledge and Skills'
Category 'Best Course for New Knowledge and Skills'
Type:
Compulsory course (Mathematics)
Area of studies:
Mathematics
Delivered by:
Department of Fundamental Mathematics
When:
3 year, 3, 4 module
Mode of studies:
offline
Open to:
students of one campus
Instructors:
Oleg Galkin
Language:
English
ECTS credits:
6
Contact hours:
114
Course Syllabus
Abstract
This discipline refers to the basic part of the disciplines and the block of disciplines that provide bachelor's training in the direction of 01.03.01 "Mathematics". It is studied in the 3rd year in 1-3 modules. The study of this discipline is based on a good command of the mathematical apparatus of previous courses. To master the discipline, students must possess the following knowledge and competencies: know the basics of mathematical analysis, algebra and geometry, studied in the first courses of the OP "Mathematics", remember the main mathematical theorems of the school course of mathematics. The course is based on the knowledge of students acquired during the study of the basics of elementary mathematics, and provides theoretical training and practical skills in the field of modern methods of mathematical analysis. The discipline "theory of functions of a complex variable" occupies a fundamental position in the education of students of the direction. "mathematics", giving the language, logic and concepts necessary for mastering most mathematical disciplines, such as: differential and integral equations, functional analysis, real function theory, computational methods, variational and operational calculus, differential geometry, topology, probability theory, optimal control, etc. Настоящая дисциплина относится к базовой части дисциплин и блоку дисциплин, обеспечивающих подготовку бакалавра по направлению 01.03.01 «Математика». Изучается на 3-м курсе в 1-3 модулях. Изучение данной дисциплины базируется на хорошем владении математическим аппаратом предыдущих курсов. Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями: знать основы математического анализа, алгебры и геометрии, изученные на 1,2 курсах ОП «Математика», помнить основные математические теоремы школьного курса математики. Курс опирается на знания студентов, приобретенные при изучении основ элементарной математики, и обеспечивает теоретическую подготовку и практические навыки в области современных методов математического анализа. Дисциплина «Теория функций комплексного переменного» занимает основополагающую позицию в образовании студентов направления «математика», давая язык, логику и понятия, необходимые для овладения большинством математических дисциплин, как то: дифференциальные и интегральные уравнения, функциональный анализ, теории функций действительной, вычислительные методы, вариационное и операционное исчисления, дифференциальная геометрия, топология, теория вероятностей, оптимальное управление и т.д.
Learning Objectives
- формирование у студентов представления об основных понятиях и методах теории функций комплексного переменного
- выработки умения применять полученные знания для решения задач, возникающих из различных разделов математики, физики и других областей знаний
- формирование у студентов общепрофессиональных и профессиональных компетенций в соответствии с требованиями ФГОС ВО
Expected Learning Outcomes
- Производит арифметические действия с комплексными числами, вычисляет модуль, аргумент и извлекает корни
- Вычисляет значения основных функций комплексного переменного, исследует функции на дифференцируемость
- Интегрирует дифференцируемые и недифференцируемые функции комплексного переменного по кривым
- Раскладывает функции комплексного переменного в степенной ряд, определяет радиус сходимости полученного ряда, применяет теорему единственности для исследования существования дифференцируемой функции комплексного переменного, удовлетворяющей заданным условиям
- Вычисляет результат аналитического продолжения данного элемента по кривой и в области
- Раскладывает функцию в ряд Лорана в данном кольце, определяет области сходимости полученного ряда
- Находит особые точки аналитических функций и определяет их тип
- Вычисляет различные типы интегралов с помощью вычетов
- Строит конформные отображения областей, находит образы областей при отображении стандартными функциями
- Вычисляет изображения и оригиналы, решает дифференциальные уравнения операционным методом
Course Contents
- Понятие комплексных чисел и стереографическая проекцияКомплексные числа. Действительная и мнимая части комплексного числа. Модуль и аргумент комплексного числа. Арифметические действия с комплексными числами и их геометрический смысл. Корни из комплексных чисел. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы записи комплексных чисел. Возведение в комплексную степень. Расширенная комплексная плоскость. Сфера Римана. Стереографическая проекция. Образы прямых и окружностей при стереографической проекции.
- Последовательности и ряды комплексных чисел, множества и кривые на комплексной плоскостиПоследовательности комплексных чисел. Предел. Ограниченность. Покоординатная сходимость. Свойства модулей и аргументов сходящихся последовательностей. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Критерий Коши. Ряды комплексных чисел. Абсолютная и условная сходимость. Критерий Коши. Необходимое условие сходимости. Сходимость абсолютно сходящегося ряда. Кривые на комплексной плоскости. Простая кривая. Замкнутая кривая. Неограниченная кривая. Спрямляемая и кусочно-гладкая кривые. Множества на комплексной плоскости. Открытые, замкнутые, ограниченные и неограниченные множества. Граница множества. Предельные точки множества. Связное множество. Область. Односвязная и n-связная область. Компактное множество на комплексной плоскости.
- Функции комплексного переменного, дифференцируемость, геометрический смысл производнойФункции комплексной переменной. Предел. Непрерывность и равномерная непрерывность. Непрерывность действительной, мнимой части и модуля непрерывной функции комплексного переменного. Теорема Кантора. Дифференцируемость функций комплексной переменной. Условия Коши-Римана. Примеры. Гармонические и сопряженные функции. Дифференцируемость основных функций (e^z,sin〖z,cosz 〗 и пр.), рациональных и других элементарных функций. Теорема о существовании дифференцируемой функции комплексного переменного по данной действительной (мнимой) части. Геометрический смысл производной. Теорема об обратной функции.
- Интегрирование функций комплексного переменногоИнтегрирование функций комплексного переменного. Формула для вычисления с помощью параметризации. Неравенства. Теорема о возможности аппроксимировать интеграл по кривой интегралом по ломаной. Теорема об аппроксимации интеграла по границе области. Интегральная теорема Коши. Теорема о первообразной. Интегральная формула Коши. Теорема о среднем для функции комплексного переменного и гармонической функции. Принцип максимума гармонической функции и принцип максимума модуля дифференцируемой функции. Задача Дирихле для уравнения Лапласа
- Функциональные ряды, степенные ряды, ряд Тейлора, теорема единственности. Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Критерий Коши. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций. Почленное интегрирование равномерно сходящегося ряда. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда. Регулярные функции. Основной критерий регулярности. Оценка радиуса сходимости степенного ряда регулярной функции. Почленное дифференцирование степенного ряда. Единственность разложения функции в степенной ряд. Ряд Тейлора. Формулы для коэффициентов ряда Тейлора. Основные разложения $\sin z,\cos z, e^z, (1+z)^k$. Основной критерий регулярности функции в области. Интегральное представление производных регулярной функции. Неравенство Коши. Бесконечная дифференцируемость дифференцируемой и гармонической функций. Целые функции. Теорема Лиувилля. Теорема Морера. Теорема Вейерштрасса о почленном дифференцировании функционального ряда. Теорема единственности
- Аналитическое продолжение функций комплексного переменногоПонятие аналитического продолжения. Принцип аналитического продолжения. Аналитические продолжения элементарных функций и соотношений. Правильные и особые точки. Теорема о радиусе сходимости степенного ряда. Аналитическое продолжение вдоль кривой. Функции, аналитические на кривой и в области. Аналитические функции "Ln" z,z^α . Точки ветвления. Римановы поверхности
- Ряд Лорана для функций комплексного переменногоРяд Лорана. Регулярность суммы ряда Лорана. Теорема Лорана. Единственность разложения функции в ряд Лорана. Неравенство Коши для коэффициентов ряда Лорана.
- Особые точки аналитических функцийИзолированные особые точки однозначного характера. Теорема о главной части ряда Лорана в окрестности устранимой точки. Нули регулярных функций. Вид регулярной функции в окрестности нуля. Полюса. Порядок полюса. Вид ряда Лорана в окрестности полюса. Существенно особые точки. Вид ряда Лорана в окрестности существенно особой точки. Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса. Теорема Пикара. Классификация особых точек. Мероморфные функции. Теорема о разложении мероморфной функции с конечным числом полюсов.
- Теория вычетовВычеты. Основная теорема о вычетах. Теорема о вычетах для области, содержащей бесконечность. Вычисление различных видов интегралов с помощью теоремы о вычетах. Лемма Жордана. Принцип аргумента. Теорема Руше. Основная теорема высшей алгебры.
- Конформные отображенияОпределение конформного отображения. Свойства конформных отображений. Сохранение области при конформном отображении. Локальный критерий однолистности. Необходимые и достаточные условия однолистности функции в полюсе и в бесконечности. Принцип соответствия границ. Критерий однолистности функции в области. Теорема Римана. Линейная функция. Дробно-линейная функция. Свойства дробно-линейного отображения (круговое свойство, единственность дробно-линейного отображения, переводящего три заданные точки в три заданные точки, сохранение симметрии при дробно-линейных отображениях). Степенная функция, функция Жуковского, показательная функция. Задача Дирихле для уравнения Лапласа (единственность решения, решение для круга и полуплоскости).
- Основы операционного исчисленияОпределение конформного отображения. Свойства конформных отображений. Сохранение области при конформном отображении. Локальный критерий однолистности. Необходимые и достаточные условия однолистности функции в полюсе и в бесконечности. Принцип соответствия границ. Критерий однолистности функции в области. Теорема Римана. Линейная функция. Дробно-линейная функция. Свойства дробно-линейного отображения (круговое свойство, единственность дробно-линейного отображения, переводящего три заданные точки в три заданные точки, сохранение симметрии при дробно-линейных отображениях). Степенная функция, функция Жуковского, показательная функция. Задача Дирихле для уравнения Лапласа (единственность решения, решение для круга и полуплоскости).
Interim Assessment
- Interim assessment (3 module)0.5 * Домашние задания + 0.5 * Итоговый устный опрос
- Interim assessment (4 module)0.5 * Домашние задания + 0.5 * Итоговый устный опрос
Bibliography
Recommended Core Bibliography
- Аксенов А. П. - ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ В 2 Ч. ЧАСТЬ 1. Учебник и практикум для академического бакалавриата - М.:Издательство Юрайт - 2019 - 313с. - ISBN: 978-5-9916-7417-1 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/teoriya-funkciy-kompleksnoy-peremennoy-v-2-ch-chast-1-434511
- Аксенов А. П. - ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ В 2 Ч. ЧАСТЬ 2. Учебник и практикум для академического бакалавриата - М.:Издательство Юрайт - 2019 - 333с. - ISBN: 978-5-9916-7419-5 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/teoriya-funkciy-kompleksnoy-peremennoy-v-2-ch-chast-2-434512
Recommended Additional Bibliography
- Посицельская Л.Н. - Теория функций комплексной переменной в задачах и упражнениях - Издательство "Физматлит" - 2007 - 136с. - ISBN: 978-5-9221-0794-5 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/59465