Master 2020/2021

One-parameter semigroups and evolution equations

Type: Compulsory course (Mathematics)

Area of studies: Mathematics

Delivered by: Department of Fundamental Mathematics

Where: Faculty of Informatics, Mathematics, and Computer Science (HSE Nizhny Novgorod)

When: 1 year, 1-3 module

Mode of studies: offline

Instructors: Ivan Remizov

Master’s programme: Mathematics

Language: English

ECTS credits: 7

Contact hours: 82

Course Syllabus

Abstract

The course is dedicated to one-parameter strongly continuous semigroups of linear bounded operators and their applications to linear evolution partial differential equations. The course requires basic knowledge on functional analysis, foundations on Hilbert spaces and complex analysis of one variable.

Learning Objectives

• The course aims to prepare students to work with mathematical problems in which linear evolution plays the key role.

Expected Learning Outcomes

• Students understand basic facts of linear functional analysis: linear spaces, linear operators and their properties
• Students have understanding of basic facts of the theory of C0-semigroups and their connection with linear evolution partial differential equations (two important examples are heat equation and Shcrodinger equation).

Course Contents

• Overview of the basic facts of functional analysis
• One-parameter semigroups, their applications and methods of approximation
• Applications to linear evolution partial differential equations
• Feynman formulas and their analogues
• Representation of solutions of evolution equations via semigroups

Assessment Elements

• Итоговый устный опрос
• Итоговый устный экзамен
  Экзамен проводится в устной форме (опрос по материалам курса). Экзамен проводится на платформе Zoom (https://zoom.us). К экзамену необходимо подключиться согласно расписанию ответов, высланному преподавателем на корпоративные почты студентов накануне экзамена. Компьютер студента должен удовлетворять требованиям: наличие рабочей камеры и микрофона, поддержка Zoom. Для участия в экзамене студент обязан: поставить на аватар свою фотографию, явиться на экзамен согласно точному расписанию, при ответе включить камеру и микрофон. Во время экзамена студентам запрещено: выключать камеру, пользоваться конспектами и подсказками. Кратковременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение связи до 5 минут. Долговременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение 5 минут и более. При долговременном нарушении связи студент не может продолжить участие в экзамене. Процедура пересдачи аналогична процедуре сдачи.
• Коллоквиум
• Домашняя работа

Interim Assessment

• Interim assessment (2 module)
  0.25 * Итоговый устный опрос + 0.5 * Домашняя работа + 0.25 * Коллоквиум
• Interim assessment (3 module)
  0.1 * Interim assessment (2 module) + 0.45 * Домашняя работа + 0.45 * Итоговый устный экзамен

Bibliography

Recommended Core Bibliography

• Aydın Aytuna, Reinhold Meise, Tosun Terzioğlu, & Dietmar Vogt. (2011). Functional Analysis and Complex Analysis. [N.p.]: AMS. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsebk&AN=974875
• Krantz, S. G. (2013). A Guide to Functional Analysis. [Washington, D.C.]: Mathematical Association of America. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsebk&AN=561154

Recommended Additional Bibliography

• Simon, Barry. Functional Integration and Quantum Physics / Barry Simon. – Academic Press, 1979
• Функциональный анализ. Лекции и упражнения, учебное пособие, 461 с., Дерр, В. Я., 2016