Гринес Вячеслав Зигмундович

2 июля 2023 года ушел из жизни известный специалист по теории динамических систем, профессор, доктор физико-математических наук Вячеслав Зигмундович Гринес.

В.З. Гринес родился 13 декабря 1946 года в городе Изяславль Украинской ССР. Вскоре семья переехала в г. Муром Владимирской области, где В.З. Гринес закончил среднюю школу № 13.

В 1964 году В.З. Гринес поступил на радиофизический факультет Горьковского (сейчас Нижегородского) государственного университета им. Н.И. Лобачевского. После первого курса он перевелся на факультет вычислительной математики и кибернетики, где слушал лекции Е.А. Леонтович-Андроновой и Л.П. Шильникова по качественной теории дифференциальных уравнений.

На старших курсах он начал посещать семинары отдела дифференциальных уравнений НИИ прикладной математики и кибернетики, который тогда возглавляла Е.А. Леонтович-Андронова. В 1969 году с отличием окончил университет (руководителем дипломной работы был Л.П. Шильников) и был приглашен на работу в тот же отдел, в котором тогда работали Л.П. Шильников, С.Х. Арансон, Л.А. Беляков, В.В. Быков, Н.К. Гаврилов  и несколько недавно закончивших университет молодых математиков (Валентин Афраймович, Лев Лерман, Владислав Медведев, Альберт Морозов, и др. Годом позже, после окончания университета, в отдел пришел Григорий Полотовский).

Атмосферу сотрудничества и научного энтузиазма, царившую в отделе в те годы, Вячеслав Зигмундович воссоздавал и сам в процессе общения с коллегами и учениками.

С конца 60-х — начала 70-х годов прошлого века в теории динамических систем активно развивалось направление, которое позже получило название «гиперболическая революция». Напомним, что пример «подковы» был построен С. Смейлом в 1961 г., а Д.В. Аносов ввел гиперболические системы в 1967 г.  В центре внимания были динамические системы с гиперболической структурой на неблуждающем множестве, которые были введены в работах Аносова и Смейла. Особый интерес вызывали системы, имеющие бесконечное множество седловых периодических орбит.

В качестве задачи для исследования Л.П. Шильников предложил В.З. Гринесу классифицировать одномерные базисные множества диффеоморфизмов поверхностей, удовлетворяющих аксиоме А Смейла. Однако быстро стало понятно, что сначала нужно изучить потоки на таких поверхностях, и В.З. Гринес был отправлен «под крыло» С.Х. Арансона, специалиста по потокам на двумерных поверхностях, с которым они начали решать задачу классификации транзитивных потоков на замкнутых ориентируемых поверхностях отрицательной кривизны. За 75 лет до этого близкая задача была решена А. Пуанкаре для транзитивных потоков без состояний равновесия на двумерном торе — ориентируемой поверхности рода один — с помощью введенного им числа вращения. Переход к классификации потоков на поверхностях большего рода имеет принципиальные трудности, связанные с тем, что потоки на таких поверхностях всегда обладают седловыми состояниями равновесия и поведение траекторий около них существенно усложняет задачу.

В 1973 году С.Х. Арансон и В.З. Гринес опубликовали работу, в которой было получено необходимое и достаточное условие топологической эквивалентности транзитивных потоков на замкнутой ориентируемой поверхности рода большего единицы. Этот результат ознаменовал важный шаг в изучении потоков на поверхностях и принес авторам работы широкую известность.

Дальнейшее развитие полученных В.З. Гринесом, С.Х. Арансоном и Е.В. Жужомой результатов привело к установлению глубоких взаимосвязей между асимптотическим поведением траекторий на универсальном накрытии поверхности плоскостью Лобачевского и свойствами потоков, слоений и ламинаций на самой поверхности. Этот результат стал значительным вкладом в теорию, которая позднее стала называться теорией Аносова-Вейля, о взаимосвязях между асимптотическим поведением кривых, возникающих в динамических системах, и асимптотическим поведением соответствующих геодезических.  Д.В. Аносов проявлял постоянное внимание к результатам, полученным В.З. Гринесом с его коллегами и учениками. Практически все эти результаты докладывались на семинарах, руководимых Д.В. Аносовым либо в математическом институте им. В.А. Стеклова, либо в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова.

В.З. Гринес обобщил метод изучения транзитивных потоков и с его помощью расклассифицировал ориентируемые одномерные базисные множества диффеоморфизмов на замкнутых поверхностях, вернувшись тем самым к тематике, предложенной ему ранее Л.П. Шильниковым. Полученные здесь результаты, вместе с топологической классификацией транзитивных потоков, составили содержание кандидатской диссертации В.З. Гринеса, защищенной в 1976 году (руководитель С.Х. Арансон). Его дальнейшие научные интересы были связаны с исследованиями структурно устойчивых динамических систем с регулярной и хаотической динамикой.

После защиты диссертации В.З. Гринес в 1977 году перешел на работу в Горьковский сельскохозяйственный институт (ГСХИ) (ныне Нижегородская государственная сельскохозяйственная академия) на кафедру высшей математики и теоретической механики (заведовал этой кафедрой с 1994 по 2013 год). C 2006 по 2015 год он работал на кафедре численного и функционального анализа ННГУ в должности профессора, с 2015 года являлся главным научным сотрудником Лаборатории топологических методов в динамике, с 2018 — ординарным профессором НИУ ВШЭ.

В восьмидесятые и девяностые годы прошлого века В.З. Гринесом, совместно с его учениками А.Н. Безденежных и Х.Х. Калаем (в то время сотрудниками кафедры высшей математики и теоретической механики ГСХИ), были получены условия топологической сопряженности структурно устойчивых диффеоморфизмов поверхностей с нетривиальными одномерными и нульмерными базисными множествами без пар сопряженных точек, а также диффеоморфизмов Морса-Смейла с конечным множеством гетероклинических траекторий. Эти результаты легли в основу докторской диссертации В.З. Гринеса на тему «Топологическая классификация структурно устойчивых диффеоморфизмов на поверхностях», защищенной в 1997 году, из которой, с учетом результатов Р.В. Плыкина и Ю.А. Жирова, следует топологическая классификация произвольных одномерных аттракторов диффеоморфизмов, удовлетворяющих аксиоме А Смейла, на замкнутых поверхностях. В диссертации была обнаружена тесная взаимосвязь между ограничениями диффеоморфизмов на аттракторы и теорией Нильсена-Терстона.

Особым стилем, выделяющим работы Вячеслава Зигмундовича, является сочетание глубоких топологических методов и результатов с методами собственно теории динамических систем.

Этот стиль позволил ему получить (в сотрудничестве с коллегами и учениками) ряд фундаментальных результатов в теории динамических систем. В 2000 году в совместной работе В.З. Гринеса и Х. Бонатти был обнаружен новый топологический инвариант структурно устойчивых диффеоморфизмов Морса-Смейла на замкнутых ориентируемых трехмерных многообразиях, описывающий вложение (вообще говоря, дикое) инвариантных многообразий седловых периодических точек в несущее многообразие.

Развитие методов этой работы в серии дальнейших совместных публикаций с Х. Бонатти, В.С. Медведевым, Э. Пеку и О.В. Починкой привело к полной топологической классификации диффеоморфизмов Морса-Смейла на трехмерных замкнутых многообразиях. Полученные результаты составили основное содержание докторской диссертации О.В. Починки (2011 г.), научным консультантом которой был В.З. Гринес. Развитые в этих работах топологические методы были применены в совместных работах В.З. Гринеса, О.В. Починки и Ф. Лауденбаха в 2005-2012 годах к решению проблемы существования энергетической функции для трехмерных диффеоморфизмов Морса-Смейла. В это же время вместе с О.В. Починкой и Е.Я. Гуревич была решена проблема Дж. Палиса о нахождении условий вложения каскада Морса-Смейла в топологический поток на 3-многообразиях. Параллельно в кандидатской диссертации Т.М. Митряковой, защищенной под руководством Вячеслава Зигмундовича, были получены результаты по топологической классификации негрубых систем на поверхностях с конечным гиперболическим неблуждающим множеством и с конечным числом модулей топологической сопряженности.

В рамках исследования систем с хаотической динамикой (начиная с 2002 года) В.З. Гринесом совместно с Е.В. Жужомой, В.С. Медведевым, О.В. Починкой и Ю.А. Левченко была получена топологическая классификация структурно устойчивых диффеоморфизмов трехмерных многообразий с хаотической динамикой, неблуждающие множества которых лежат на двумерных поверхностях. Было доказано, что единственным замкнутым трехмерным многообразием, допускающим структурно устойчивый диффеоморфизм с растягивающим двумерным аттрактором, является трехмерный тор, и получена классификация многообразий, допускающих структурно устойчивые диффеоморфизмы, неблуждающие множества которых целиком состоят из двумерных предельных множеств.

Примерно в это же время В.З. Гринесом совместно с О.В. Починкой и С. ван Стрином получена топологическая классификация омега-устойчивых систем с одномерными аттракторами и репеллерами и конечным числом модулей устойчивости на поверхностях. Обнаруженные в работах В.З. Гринеса глубокие взаимосвязи между динамикой трехмерных систем с регулярной динамикой и топологией несущего многообразия нашли применение при изучении топологии магнитных полей в короне Солнца.

В 2015 году В.З. Гринесом, совместно с Е.В. Жужомой, Т.В. Медведевым и О.В. Починкой, были получены условия существования сепараторов в магнитном поле хорошо проводящей среды.

Начиная с 2001 года В.З. Гринес уделял большое внимание изучению регулярных и хаотических структурно устойчивых диффеоморфизмов на многообразиях размерности большей трех. Совместно с Е.В. Жужомой им было доказано, что несущее многообразие структурно устойчивого диффеоморфизма, который имеет ориентируемый растягивающийся аттрактор коразмерности один, является многомерным тором. В кандидатской диссертации Е.Я. Гуревич, защищенной в 2009 году под руководством В.З. Гринеса, была получена топологическая классификация диффеоморфизмов Морса-Смейла на сфере размерности четыре и выше при условии отсутствия гетероклинических пересечений.

В совместных работах с Е.Я. Гуревич, В.С. Жужомой, О.В. Починкой и В.С. Медведевым изучена топология ориентируемых многообразий размерности четыре и выше, допускающих потоки и диффеоморфизмы Морса-Смейла, получена топологическая классификация содержательных классов таких систем и достаточные условия включения диффеоморфизмов Морса-Смейла в топологические потоки.

В последнее время В.З. Гринес уделял особое внимание теории эндоморфизмов (необратимых отображений). Совместно с Е.В. Жужомой и Е.Д. Куренковым им была построена так называемая хирургическая операция Смейла для двумерного эндоморфизма Аносова и доказано, что такая операция приводит к появлению одномерного сжимающегося репеллера, но не может привести к появлению одномерного растягивающегося аттрактора (что контрастирует с ситуацией для диффеоморфизмов Аносова).

В 2011 году В.З. Гринесом и О.В. Починкой была опубликована монография «Введение в топологическую классификацию каскадов на многообразиях размерности два и три», переработанный вариант которой в соавторстве с Т.В. Медведевым и О.В. Починкой опубликован в издательстве Шпрингер в 2016 году.

В 2021 году вышла монография В.З. Гринеса и Е.В. Жужомы «Surface Lamination and Chaotic Dynamical Systems», в которой изложены основы теории Аносова-Вейля и применения этой теории к проблемам классификации динамических систем на поверхностях со сложными инвариантными множествами.

В 2022 году вышла мнография В.З. Гринеса и Е.Я. Гуревич «Проблемы топологической классификации многомерных систем Морса-Смейла», в которой изложены последние достижения на данный момент результаты, касающиеся класификации многомерных динамических систем Морса-Смейла.

Известно, что многие математики увлекаются музыкой. Вячеслав Зигмундович не являлся исключением. Он закончил музыкальную школу по классу баяна, участвовал в студенческой самодеятельности во время учебы в университете. На многих дружеских ужинах во время конференций он был душой компании, поддерживая пение участников аккомпанементом на своем баяне, которым владел виртуозно. Более шестидесяти лет назад  юного Славу пригласили в пионерский лагерь помочь подготовить концерт для родителей (в лагере не было баяниста).

Он успешно справился с задачей, а заодно познакомился с Таней Голубевой, которая участвовала в танцевальном коллективе, а через восемь лет она стала его женой. Музыкальные гены передались его дочкам, Ольге и Наташе, которые работают в Нижегородской консерватории. Внук Павел и внучка Лиза уже сейчас в юные годы являются лауреатами престижных музыкальных конкурсов в России и за рубежом.

В.З. Гринес был членом редколлегий журналов «Russian Journal of Non-linear Dynamics», «Журнал Средневолжского математического общества» и «Динамические системы». Он неоднократно был частником и руководителем престижных грантов, таких, как грант Президента России ведущим научным школам, грантов РФФИ и РНФ, гранта ИНТАС и фонда Сороса, грантов CNRS (Франция), совместного гранта РФФИ и Королевского математического общества (Великобритания). В.З. Гринес был членом диссертационных советов Нижегородского и Владимирского государственных университетов, а также являлся членом экспертного совета Российского фонда фундаментальных исследований. Вячеслав Зигмундович много времени и энергии посвящал подготовке научных кадров. В разные годы он читал лекции по курсам «Современная теория динамических систем», «Современные проблемы непрерывной математики», «История математики», «Топологическая классификация структурно устойчивых систем в размерности 2 и 3», «Математический анализ», «Введение в динамические системы», руководил научным семинаром по топологическим методам в динамике. Под его руководством защищены шесть кандидатских диссертаций, в том числе четыре из них за последние годы (О.В. Починка, 2004; Е.Я. Гуревич, 2009; Т.М. Митрякова, 2011, Ю.А.  Левченко, 2014). Он был награжден званием «Почетный работник высшего профессионального образования Российской федерации».

Светлая память о Вячеславе Зигмундовиче Гринесе навсегда останется в сердцах его друзей, коллег и учеников.