Новые обобщения задачи Монжа-Канторовича и ее приложенияNew generalizations of the Monge–Kantorovich problem and its applications

Диссертация посвящена новым вариантам классической транспортной задачи Монжа–Канторовича и её мультимаргинальным и мультистохастическим обобщениям. В первой части работы рассматривается так называемая мультистохастическая или (n,k)-задача: ищется мера на произведении n пространств, чьи всевозможные проекции на любые k координат совпадают с заданными распределениями. Эта постановка обобщает мультимаргинальную транспортную задачу (где k = 1) и оказывается востребованной, когда доступна информация о совместном распределении нескольких групп маргиналов. В главе 1 изучается модельный пример (n=3, k=2), который связывает задачу с теорией фракталов и побитовым сложением. Глава 2 посвящена общим вопросам теории (n,k)-задач: здесь формулируются условия эквивалентности прямой и двойственной задач, доказывается существование решений двойственной задачи, а также выводятся оценки для двойственных функций. Сложность этих вопросов возрастает по сравнению с классической и мультимаргинальной постановками, поскольку маргиналы и двойственные функции перестают быть независимыми.Вторая часть диссертации (главы 3 и 4) посвящена транспортной задаче с тремя маргиналами и функцией стоимости xyz. Рассматривается конкретный пример, для которого удаётся получить явное решение с контрмонотонным свойством и подробно описать его носитель. Кроме того, в работе обсуждается экономическая интерпретация найденного решения в контексте моделей занятости и зарплат на рынке труда, что подчёркивает универсальность и прикладной характер полученных результатов.