Инварианты сферических многообразийInvariants of spherical varieties

Алгебраическое многообразие X, снабжённое действием связной редуктивной группы G, называется сферическим, если X неприводимо, нормально и обладает открытой орбитой для индуцированного действия борелевской подгруппы B группы G. Подгруппа H группы G называется сферической, если однородное пространство G/H является сферическим многообразием. Известна комбинаторная классификация сферических многообразий, которая в случае сферических однородных пространств даётся биекцией между всеми такими пространствами и некоторыми наборами комбинаторных инвариантов. В первой части диссертации разрабатываются методы перехода от явного вида сферической подгруппы H к набору инвариантов соответствующего сферического однородного пространства G/H и наоборот. Во второй части диссертации рассматривается пространство модулей M_Г аффинных сферических многообразий X с заданным весовым моноидом Г, который кодирует спектр естественного представления группы G в алгебре регулярных функций на X. Вычисляется касательное пространство в наиболее вырожденной точке пространства M_Г, и этот результат затем используется для описания некоторых геометрических свойств пространства M_Г, включая его неприводимые компоненты, а также для получения ряда общих результатов об аффинных сферических многообразиях. В третьей части диссертации изучаются B-корневые подгруппы на аффинных сферических многообразиях, то есть однопараметрические унипотентные группы автоморфизмов, нормализуемые борелевской подгруппой B группы G. Устанавливаются базовые свойства B-корневых подгрупп и предъявляются их явные конструкции. Доказывается, что открытую G-орбиту произвольного аффинного сферического многообразия можно соединить с любой орбитой коразмерности 1 при помощи действия подходящей B-корневой подгруппы.Алгебраическое многообразие X, снабжённое действием связной редуктивной группы G, называется сферическим, если X неприводимо, нормально и обладает открытой орбитой для индуцированного действия борелевской подгруппы B группы G. Подгруппа H группы G называется сферической, если однородное пространство G/H является сферическим многообразием. Известна комбинаторная классификация сферических многообразий, которая в случае сферических однородных пространств даётся биекцией между всеми такими пространствами и некоторыми наборами комбинаторных инвариантов. В первой части диссертации разрабатываются методы перехода от явного вида сферической подгруппы H к набору инвариантов соответствующего сферического однородного пространства G/H и наоборот. Во второй части диссертации рассматривается пространство модулей M_Г аффинных сферических многообразий X с заданным весовым моноидом Г, который кодирует спектр естественного представления группы G в алгебре регулярных функций на X. Вычисляется касательное пространство в наиболее вырожденной точке пространства M_Г, и этот результат затем используется для описания некоторых геометрических свойств пространства M_Г, включая его неприводимые компоненты, а также для получения ряда общих результатов об аффинных сферических многообразиях. В третьей части диссертации изучаются B-корневые подгруппы на аффинных сферических многообразиях, то есть однопараметрические унипотентные группы автоморфизмов, нормализуемые борелевской подгруппой B группы G. Устанавливаются базовые свойства B-корневых подгрупп и предъявляются их явные конструкции. Доказывается, что открытую G-орбиту произвольного аффинного сферического многообразия можно соединить с любой орбитой коразмерности 1 при помощи действия подходящей B-корневой подгруппы.