Диффеоморфизмы окружности и комплексная динамика

В диссертационной работе изучена конструкция комплексного числа вращения, предложенная В.И. Арнольдом в 1978 году. Её можно считать комплексным аналогом числа вращения диффеоморфизма окружности. Конструкция комплексного числа вращения позволяет применять методы комплексного анализа для изучения диффеоморфизмов окружности и их семейств. Число вращения диффеоморфизма окружности описывает его динамику: если число вращения рационально, то диффеоморфизм имеет периодические орбиты; если же оно иррационально, то (достаточно гладкий) диффеоморфизм сопряжен иррациональному повороту окружности. Первые результаты о связи комплексного и обычного числа вращения появились в1999 году (Э. Рислер) и в 2001 году (В. Молдавский); в этих работах был изучен случай диффеоморфизмов с диофантовым числом вращения. Случай диффеоморфизмов с периодическими орбитами изучался Ю.Ильяшенко и В. Молдавским (2005 г.), а также Ж. Лакруа (не опубликовано). Вопрос о комплексном числе вращения для диффеоморфизмов с лиувиллевым (иррациональным, но не диофантовым) числом вращения был включен Э. Жисом в его список проблем о динамике на окружности (2008). В диссертационной работе решен этот вопрос как для комплексного числа вращения, так и для некоторых его обобщений. Проведенные в работе исследования мотивируют введение нового фракталоподобного множества –  «пузырей», комплексного аналога «языков Арнольда». Наконец, в работе  изучается геометрическая структура «пузырей» – аналитически и с помощью численного эксперимента