Геометрия твисторных пространств гиперкомплексных многообразийThe geometry of twistor spaces of hypercomplex manifolds

Гиперкомклексное многообразие есть гладкое многообразие с действием кватернионной алгебры на касательном расслоении, параллельным по отношению к некоторой аффинной связности без кручения.На таком многообразии существует целая двумерная сфера индуцированных комплексных структур. Твисторным пространством такого многообразия называется его декартово произведение с этой двумерной сферой, параметризующее индуцированные комплексные структуры в точках многообразия. Оно обладает естественной комплексной структурой, по отношению к которой проекция на двумерную сферу, отождествленную с комплексной проективной прямой, является голоморфным отображением. В случае, если на гиперкомплексном многообразии задана метрика, которая является кэлеровой по отношению ко всем индуцированным комплексным структурам одновременно, многообразие называется гиперкэлеровым. В этом случае на твисторном пространстве задана естественная эрмитова метрика, не являющаяся кэлеровой, которая однако, как было показано Калединым и Вербицким, удовлетворяет более слабому условию сбалансированности. В данной работе этот результат о существовании сбалансированной метрики обобщается на твисторные пространства общих компактных гиперкомплексных многообразий. Кроме этого, в работе изучаются голоморфные векторные расслоения на твисторном пространстве односвязного гиперкэлерова многообразия и поднимается вопрос о стабильности их ограничений на слои твисторной проекции в комплексную проективную прямую. Обобщая аргумент Телемана, показывается, что послойные стабильность и полустабильность такого расслоения суть открытые по Зарисскому условия на базе твисторной проекции.Доказывается частичное обращение к результату Каледина и Вербицкого о том, что послойно стабильное расслоение на твисторном пространстве не имеет ненулевых подпучков строго меньшего ранга. Обратное утверждение доказывается для случая, когда ранг расслоения равен двум или трем, а также для расслоений общего ранга, чье ограничение на хотя бы один слой твисторной проекции является простым. Наконец, в работе строится конкретный пример стабильного векторного расслоения на твисторном пространстве поверхности K3, чьи ограничения на все слои твисторной проекции нестабильны.