Ряды Загье для функции ГринаZagier series of the Green’s function

Диссертация посвящена построению модулярных форм от двух переменных, являющихся гладкими представителями классов когомологий модулярных поверхностей. А именно, рассматривается случай, когда в качестве многообразия выступает дополнение к кривой Гекке (графику $N$-соответствия Гекке) на произведении двух стандартных модулярных кривых $Y_0(1)^2$. Гладкий представитель класса соответствия позволяет описать действие этого соответствия на когомологиях в терминах интегрального оператора. Используя построенную дифференциальную форму с простым полюсом на кривой Гекке $\Xi_N(z_1, z_2)$ (модулярное ядро Коши), в первой главе доказывается обобщение результата Загье об интегральном представлении операторов Гекке на случай параболических форм веса 2 произвольного уровня, а также приводится представление разницы двух автоморфных функций Грина (резольвент ядра) в виде регуляризованного интеграла по фундаментальной области конгруэнц-подгруппы Гекке. Во второй главе разобрана конструкция бимодулярных форм с заданными вычетами на кривую Гекке. Последняя глава посвящена изучению модулярного ядра Коши в случае модулярной поверхности Гильберта.