R-матричный формализм в дифференциальной геометрии квантовых групп и в интегрируемых моделях математической физикиR-matrix formalism in defferential geometry of quantum groups and in integrable models of mathematical physics

В диссертации развивается R-матричный подход в исследовании структуры квантовых матричных алгебр, квантовании дифференциального
исчисления на линейных группах Ли, и в построении решений квантовых уравнений Книжника-Замолодчикова. Для широкого семейства квантовых
матричных алгебр GL(n) типа, включающего в себя как RTT-алгебры, так и алгебры уравнения отражений, доказываются q-аналоги теоремы Гамильтона-Кэли и соотношений Ньютона. Формулируется метод спектрального расширения гейзенбергова дубля над линейными квантовыми группами и, в качестве приложений, вычисляется оператор эволюции модели q-деформированного изотропного волчка и реконструируются
две серии динамических R-матриц GL(n) типа. Строится комплекс де Рама на линейных квантовых группах серий GL(n) и SL(n), снабженный действием
q-аналогов производных Ли. С применением техники спектрального расширения на этом комплексе задается отображение инволюции унитарного типа. Для решений квантовых уравнений Книжника-Замолодчикова, связанных с представлениями алгебр Темперли-Либа на путях Дика и на кривых
голосования, выводятся факторизованные выражения. Эти выражения, в частности, находят применение при анализе комбинаторных свойств
стационарных состояний в модели стохастического процесса Raise and Peel.