Топология плоских вещественных и комплексных алгебраических кривыхTopology of plane real and complex algebraic curves

Основное содержание диссертации посвящено изучению топологии плоских вещественных алгебраических кривых (этот круг вопросов принято связывать с первой частью 16-й проблемы Гильберта), а также вещественных
псевдоголоморфных кривых, то есть псевдоголоморфных кривых в вещественной проективной плоскости, инвариантных относительно комплексного сопряжения. Эти два класса кривых имеют очень сходные
топологические свойства. Поскольку вопрос о реализуемость заданного расположения овалов вещественной псевдоголоморфной кривой во многих случаях сводится к вопросу о квазиположительности некоторого набора кос,
одна из статей, составляющих диссертацию посвящена алгоритмической задачи распознавания квазиположительных кос (коса называется квазиположительной, если она является произведением кос, сопряженных стандартным образующим).
Среди результатов диссертации: классификация с точностью до изотопии вещественных алгебраических и вещественных псевдоголоморфных плоских аффинных М-кривых степени 6 (причем эти классификации не совпадают);
классификация вещественных плоских прективных псевдоголоморфных М-кривых степени 8; новые формулы комплексных ориентаций; алгоритмическое распознавание квазиположительности кос с тремя нитями, а также кос алгебраической длины 2; новые неравенства для комплеклексных ориентаций, позволившие доказать алгебраическую нереализуемость некоторых комплексных схем, реализуемых псевдоголоморфно.
В диссертации также решены две задачи о топологии плоских комплексных кривых: 1) для плоских проективных кривых, гомеоморфных сфере, получена точная оценка максимальной кратности особенности через степень кривой; 2) доказана старая гипотеза Зайденберга -- Лина о том, что число особых точек плоской алгебраической кривой линейно оценивается через ее первое число Бетти.