Диссертации, представленные на защиту и подготовленные в НИУ ВШЭ

В диссертации исследованы вероятностные модели представления системы с ограниченным ресурсом. Первая модель представляет собой модель налогообложения с субъектами, распределенными по типам. Каждый субъект оптимизирует свою полезность при заданных условиях, регулируя свои затраты, которые влияют также на специальную штрафную функцию. Задача состоит в максимизации интегральной полезности в системе. При дополнительных условиях на распределение и функционалы получен способ оптимизации, опускающий промежуточный максимум. Такой способ позволяет получить оптимальную налоговую функцию для конкретных видов штрафной функции. Далее рассмотрен случай, в котором налоговые функции кусочно-линейные, а функция штрафа квадратична. В данном случае получен явный вид оптимального функционирования каждого субъекта.Вторая модель представляет собой систему очередей с стохастическими потоками задач, приходящих в систему, и общим ресурсом на обработку этих задач. В определенных условиях гладкости, наложенных на потоки, описана связь между моментами двух случайных процессов, описывающих загруженность очереди. Таким образом обоснован выбор метрики производительности системы, а также классифицированы возможные состояния системы. Для одного из классов состояний из обоснованных свойств системы вытекает корректность алгоритма, дающего точное решение задачи оптимизации.Третья модель появилась в математической экономике для представления задач аукционов, монополиста, скрининга и подобных им. Рассматривается максимизация функционала типа Дирихле на специальном пространстве функций. Усилен известный ранее результат о двойственности этой задачи и задачи максимизации функционала на пространстве знакопеременных мер конечной вариации. Конкретно, показана достижимость максимума на пространстве выпуклых покоординатно возрастающих функций и минимума двойственной задачи. Для этого доказан принцип минимакса, применимый в данной ситуации.