Диссертации, представленные на защиту и подготовленные в НИУ ВШЭ

В данной диссертации рассматривается несколько статистических задач, связанных с составными моделями. Первая глава посвящена неизвестной ранее задаче непараметрического оценивания распределения количества слагаемых в случайных суммах. В работе предлагается метод получения соответствующей оценки, основанный на суперпозиции преобразований Меллина и Лапласа, а также анализируется точность этой оценки. Во второй главе рассматривается обратная задача, известная как декомпаундинг, и разрабатывается метод непараметрического оценивания распределения самих слагаемых. Для предложенной оценки устанавливаются верхние границы порядков сходимости и показывается, что для нескольких классов вероятностных законов они являются полиномиальными. Более того, для некоторых классов распределений также доказываются соответствующие нижние границы, свидетельствующие об оптимальности предлагаемой оценки в минимаксном смысле. В третьей главе рассматривается задача восстановления распределения одной из компонент мультипликативной смеси и предлагается непараметрическая оценка соответствующей функции распределения. В отличие от известных ранее, данная оценка может применяться даже в случае дискретного смешивающего распределения. Стоит отметить, что при некоторых предположениях она также имеет параметрический порядок сходимости. В качестве вспомогательного результата в данной главе выводится аналог неравенства Берри–Эссеена для преобразования Меллина–Стилтьеса. Наконец, последняя глава диссертации посвящена анализу экстремальных значений в схемах серий случайных величин с распределением, представляющем собой аддитивную смесь с параметрами, зависящими от количества наблюдений.  В ней приводится несколько примеров схем серий, предельные распределения максимальных значений в которых могут быть выражены разрывными законами, что иллюстрирует фундаментальное различие между классической теорией экстремальных значений и случаем схем серий.