Бакалавриат
2019/2020
Теория вероятностей
Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»
Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»
Статус:
Курс обязательный (Экономика и статистика)
Направление:
38.03.01. Экономика
Кто читает:
Департамент статистики и анализа данных
Где читается:
Факультет экономических наук
Когда читается:
2-й курс, 1, 2 модуль
Формат изучения:
без онлайн-курса
Язык:
русский
Кредиты:
6
Контактные часы:
92
Программа дисциплины
Аннотация
"Теория вероятностей" - курс, направленный на формирование у студентов научного представления о случайных событиях и величинах, о методах их исследования, а также вероятностно-статистического мышления, необходимого для успешной исследовательской и аналитической работы в современных областях социально-экономической и управленческой деятельности. В курсе даются базовые понятия теории вероятностей – случайные события и расчет вероятностей, дискретные и непрерывные случайные величины, способы их задания и нахождение различных числовых характеристик, основные законы распределения случайных величин, их свойства и применение, производящие и характеристические функции, многомерные случайные величины. Для освоения дисциплины необходимы знания математики в рамках школьной программы и математического анализа в рамках вузовской программы. Дисциплина является базовой для множества дальнейших статистических и прикладных курсов – таких как: Математическая статистика, Эконометрика, Микро- и макроэкономическая статистика; Многомерные статистические методы; Случайные процессы; Страхование и актуарные расчеты и Актуарные расчеты в страховании жизни; Статистическое моделирование социально-экономических процессов и др.
Цель освоения дисциплины
- Формирование у студентов аналитического мышления, научного представления о случайных событиях и величинах, о методах их исследования.
- Формирование устойчивой системы знаний основ теории вероятностей - случайных событий, способов нахождения их вероятностей и случайных величин, нахождения различными способами их законов распределения, числовых характеристик, взаимосвязи между несколькими случайными величинами и т.д.
- Развитие у студентов навыков формализации встречающихся в реальной практике задач и приведения их к вероятностной математической модели, оценки такой модели и интерпретации полученных результатов
Планируемые результаты обучения
- Знать основные термины, определения случайных событий, уметь рассчитывать их вероятности в условиях различных вероятностных схем. Владеть элементами комбинаторики и уметь использовать ее в расчете вероятности с помощью классического определения
- Знать виды случайных событий, основные теоремы сложения и умножения вероятностей и уметь рассчитывать вероятности различных комбинаций зависимых/независимых, совместных/несовместных событий
- Знать и уметь определять виды случайных величин и способы их задания, рассчитывать функции распределения и ряда распределения/ функций плотности вероятностей, числовые характеристики случайных величин. Знать основные законы распределения дискретных и непрерывных случайных величин и их свойства, особенности применения.
- Знать определения, вывод и свойства производящих и характеристических функций случайных величин и расчет с их помощью моментов, распределения суммы независимых случайных величин и других задач; уметь рассчитывать производящие и характеристические функции для любых случайных величин.
Содержание учебной дисциплины
- Раздел 1. Случайные событияТема 1. Случайные события и их вероятности Операции над случайными событиями и их свойства. Вероятность события. Дискретное вероятностное пространство. Классическое определение вероятности и область его применимости. Элементы комбинаторики. Статистическое определение вероятности. Непрерывное вероятностное пространство. Геометрическое определение вероятности и область его применимости. Понятие об аксиоматике А.Н.Колмогорова. Аксиоматическое определение вероятности. Алгебра событий. Поле вероятностей, σ-алгебра событий. Тема 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей Теоремы сложения вероятностей для несовместных и совместных случайных событий. Независимые и зависимые случайные события. Условная вероятность. Теоремы умножения для зависимых и независимых событий. Тема 3. Формула полной вероятности и формула Байеса Формула полной вероятности. Формула Байеса. Область применения и научное значение. Априорные и апостериорные вероятности. Тема 4. Повторные независимые испытания Повторные независимые испытания. Схема испытаний Бернулли. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число успехов в испытаниях Бернулли. Частные и общие теоремы о повторении опытов с одинаковой и разными вероятностями исходов и с несколькими исходами. Асимптотические (приближенные) формулы для испытаний Бернулли. Приближение биномиального распределения при большом числе испытаний к нормальному. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. Следствия из интегральной теоремы Муавра-Лапласа. Приближение формулы Бернулли при большом числе испытаний формулой Пуассона. Условия применимости.
- Раздел 2. Случайные величиныТема 5. Дискретная случайная величина. Ряд распределения, функция распределения дискретной случайной величины и её свойства. Числовые характеристики дискретной случайной величины. Основные законы распределения дискретных случайных величин – биномиальный, пуассоновский, геометрический, гипергеометрический, отрицательный биномиальный. Производящая функция неотрицательной целочисленной дискретной случайной величины. Определение, связь с рядом распределения, связь с моментами случайной величины. Производящая функция суммы независимых случайных величин. Тема 6. Непрерывная случайная величина. Функция распределения и плотности вероятностей непрерывной случайной величины. Теорема о вероятности отдельно взятого значения. Числовые характеристики непрерывной случайной величины. Основные законы распределения непрерывных случайных величин - равномерный, логнормальный, экспоненциальный, гамма-распределение, распределение Пирсона (χ2), Стьюдента (t - распределение), Фишера-Cнедекора (F-распределение). Связи распределений. Тема 7. Нормальный закон распределения. Функция плотности вероятности – функция Гаусса - и её свойства. Характеристики формы кривой. Функция распределения. Функция Лапласа. Математическое ожидание и дисперсия нормальной случайной величины. Свойства случайной величины, имеющей нормальный закон распределения. Правило трёх сигм. Стандартный (нормированный) нормальный закон распределения и его свойства. Тема 8. Закон больших чисел. Лемма Маркова. Неравенство и теорема Чебышева. Условия применимости. Закон больших чисел в форме теоремы Маркова. Теорема Хинчина. Теорема Бернулли. Теорема Пуассона. Центральная предельная теорема и её значение. Теорема Ляпунова (частный случай, классическая ЦПТ). Следствия. ЦПТ Линдеберга. ЦПТ Ляпунова. Тема 9. Производящие и характеристические функции. Производящая функция (Probability-generating function, PGF) неотрицательной целочисленной дискретной случайной величины. Производящая функция моментов (Moment-generating function, MGF) для дискретной и непрерывной случайной величины. Производящая функция семиинвариантов (полуинвариантов, кумулянт) (semi-invariants, cumulants) случайной величины. Характеристическая функция (Characteristic function) случайной величины и ее основные свойства. Их основные свойства, связь с моментами случайной величины, использование при суммировании независимых случайных величин. Семиинварианты (полуинварианты) случайной величины и их свойства, использование для нахождения моментов случайной величины. Теорема о непрерывном соответствии.
Элементы контроля
- Текущий контроль аудиторной и самостоятельной работы
- Домашняя контрольная работа 1Индивидуальная домашняя контрольная работа по 1 разделу по вариантам (выдаваемым преподавателем), состоящая из 7 задач на 1-4 темы курса.
- Аудиторная контрольная работа 1Письменная работа на 1 пару (80 минут) на 1 раздел курса
- Домашняя контрольная работа 2Индивидуальная домашняя контрольная работа по вариантам (выдаваемым преподавателем), состоящая из 8 задач на 5-10 темы курса. Сдается в два этапа: на темы 5-9 на 13-14 неделе, последние 2 задачи на 10 тему – на последней неделе семестра (16-17 неделя).
- Аудиторная контрольная работа 2Письменная работа на 1 пару (80 минут) на 2 раздел курса
- ЭКЗАМЕНПисьменная работа, включающая как теоретические вопросы и доказательства, так и расчетные задачи по всем темам курса на 150 минут.
Промежуточная аттестация
- Промежуточная аттестация (2 модуль)0.125 * Аудиторная контрольная работа 1 + 0.125 * Аудиторная контрольная работа 2 + 0.05 * Домашняя контрольная работа 1 + 0.05 * Домашняя контрольная работа 2 + 0.15 * Текущий контроль аудиторной и самостоятельной работы + 0.5 * ЭКЗАМЕН
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Мхитарян, В. С. Теория вероятностей и математическая статистика [Электронный ресурс] : учеб. пособие / В. С. Мхитарян, Е. В. Астафьева, Ю. Н. Миронкина, Л. И. Трошин; под ред. В. С. Мхитаряна. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Московский финансово-промышленный университет «Синергия», 2013. - (Университетская серия). - ISBN 978-5-4257-0106-0. - Режим доступа: http://znanium.com/catalog/product/451329
- Прикладная статистика. Основы эконометрики. Т.1: Теория вероятностей и прикладная статистика, Айвазян, С. А., 2001
- Теория вероятностей : учебник для вузов, Вентцель, Е. С., 2002
- Теория вероятностей и математическая статистика : учеб. пособие, Мхитарян, В. С., 2013
Рекомендуемая дополнительная литература
- Вероятность. Кн. 1: Вероятность - 1: Элементарная теория вероятностей. Математические основания. Предельные теоремы, Ширяев, А. Н., 2004
- Кремер Н. Ш. - ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Учебник и практикум для академического бакалавриата - М.:Издательство Юрайт - 2019 - 271с. - ISBN: 978-5-9916-9888-7 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/teoriya-veroyatnostey-433670
- Пугачев В.С. - Теория вероятностей и математическая статистика - КноРус - 2017 - 496с. - ISBN: 978-5-4365-1551-9 - Текст электронный // ЭБС BOOKRU - URL: https://book.ru/book/922288
- Теория вероятностей и ее инженерные приложения : учеб. пособие для вузов, Вентцель, Е. С., 2003
- Теория вероятностей и математическая статистика : учеб. пособие для вузов, Гмурман, В. Е., 2006
- Теория вероятностей и математическая статистика : учебник для вузов, Колемаев, В. А., 2003
- Теория вероятностей и математическая статистика : учебник для вузов, Пугачев, В. С., 2002
- Теория вероятностей и математическая статистика в задачах : более 360 задач и упражнений, Борзых, Д. А., 2016
- Теория вероятностей и математическая статистика с использованием MS EXCEL. Ч. 1: Теория вероятностей, , 2019
- Теория вероятностей, Боровков, А. А., 2003