Бакалавриат
2019/2020![Цель освоения дисциплины](/f/src/global/i/edu/objectives.svg)
![Планируемые результаты обучения](/f/src/global/i/edu/results.svg)
![Содержание учебной дисциплины](/f/src/global/i/edu/sections.svg)
![Элементы контроля](/f/src/global/i/edu/controls.svg)
![Список литературы](/f/src/global/i/edu/library.svg)
Статистический анализ сложных систем, хаос, фракталы
Статус:
Курс по выбору (Прикладная математика)
Направление:
01.03.04. Прикладная математика
Кто читает:
Департамент прикладной математики
Когда читается:
4-й курс, 1, 2 модуль
Формат изучения:
без онлайн-курса
Язык:
русский
Кредиты:
5
Контактные часы:
60
Программа дисциплины
Аннотация
В курсе "Статистический анализ сложных систем, хаос, фракталы" излагаются элементы теории хаоса в динамических системах, рассматривается математическое описание хаотических систем, раскрываются основные понятия теории и моделирования сложных сетей.
Цель освоения дисциплины
- Ознакомление студентов с основами теории сложных систем, включающей динамические системы и сложные сети.
Планируемые результаты обучения
- Анализирует нелинейные системы 1 и 2 порядка, умеет определять точки бифуркаций
- Знает определение динамического хаоса, анализирует дискретные отображения
- Вычисляет основные характеристики сети, знает принципы построения случайных сетей
Содержание учебной дисциплины
- Основы нелинейной динамикиСложные системы и их свойства. Нелинейные взаимодействия. Динамические системы, свойства, размерность. Устойчивость траекторий, бифуркации. Устойчивость по Ляпунову и асимптотическая устойчивость стационарных решений. Нелинейные системы дифференциальных уравнений. Стационарные решения, их классификация. Линеаризация. Отсутствие замкнутых траекторий в системах дифференциальных уравнений: градиентная система и построение функции Ляпунова. Понятие о предельном цикле. Критерии отсутствия предельных циклов. Теорема Пуанкаре-Бендиксона. Бифуркация Хопфа.
- Введение в теорию хаотических системСистема Лоренца и ее свойства. Детерминированный хаос. Диаграмма Ламерея. Условия устойчивости неподвижной точки. Логистическое разностное уравнение: бифуркация удвоения периода, хаос и «окна периодичности». Ляпуновские показатели. Универсальность Фейгенбаума. Странные аттракторы динамических систем.
- Основы теории и моделирования сложных сетейОпределения и примеры сложных сетей. Основные понятия в теории сетей. Свойства и метрики. Распределение степеней связности, коэффициенты кластеризации, ассортативность, диаметр, кратчайшие пути. Модель Эрдеша-Реньи. Распределение Бернулли и Пуассона. Функция распределения степеней. Возникновение связанной компоненты. Модель Барабаши-Альберта (Barabasi-Albert). Предпочтительное присоединение. Уравнение в непрерывном приближении. Временная эволюция степеней узлов. Распределение степеней узлов. Средняя длина пути и коэффициент кластеризации. Свойства "малого мира".
Элементы контроля
- контрольная работа
- экзаменЕсли оценка за контрольную работу (Окр) превышает 7 баллов, на усмотрение преподавателя студент может быть освобожден от сдачи экзамена с итоговой оценкой, равной Окр.
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Ахромеева Т.С., Курдумов С.П., Малинецкий Г.Г. - Структуры и хаос в нелинейных средах - Издательство "Физматлит" - 2007 - 488с. - ISBN: 978-5-9221-0887-4 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/2094
Рекомендуемая дополнительная литература
- Balister, P., Bollobás, B., Gunderson, K., Leader, I., & Walters, M. (2015). Random Geometric Graphs and Isometries of Normed Spaces. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsbas&AN=edsbas.82683F55
- Имитационное моделирование объектов с хаотическими факторами: Учебное пособие / Кобелев Н.Б. - М.: КУРС, НИЦ ИНФРА-М, 2017. - 192 с.: - (Бакалавриат) - Режим доступа: http://znanium.com/catalog/product/754579
- Фракталы и хаос в динамических системах : учеб. пособие, Кроновер, Р. М., 2006