Бакалавриат
2020/2021
Линейная алгебра
Статус:
Курс обязательный (Клеточная и молекулярная биотехнология)
Направление:
06.03.01. Биология
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет биологии и биотехнологии
Когда читается:
2-й курс, 1, 2 модуль
Формат изучения:
без онлайн-курса
Язык:
русский
Кредиты:
4
Контактные часы:
48
Программа дисциплины
Аннотация
Курс "Линейная алгебра" направлен на знакомство студентов с основными понятиями и методами линейной алгебры. При изучении этого курса студенты получат знания о современной алгебре и её месте в математике, познакомятся с понятиями систем линейных уравнений, векторных пространств, матриц, а также научатся решать стандартные задачи линейной алгебры и применять методы линейной алгебры в других математических и физических дисциплинах. Изучение данной дисциплины базируется на знаниях, полученных студентами при освоении школьного курса математики. Основные положения дисциплины используются в дальнейшем при изучении таких дисциплин, как "Дифференциальные уравнения", "Теория вероятностей", а также профильных биологических дисциплин.
Цель освоения дисциплины
- Формирование и развитие у студентов структурно-алгебраического мышления и умения видеть общие алгебраические конструкции в различных областях математики
- Освоение фундаментальных понятий и вычислительных методов линейной алгебры
- Наработка опыта использования и применения изучаемых методов к исследованию и решению конкретных задач
Планируемые результаты обучения
- Освоение методов решения систем линейных уравнений
- Знакомство с основными понятиями линейной алгебры
- Знакомство с основными понятиями и методами линейной алгебры и отработка навыков их применения при решении задач
Содержание учебной дисциплины
- Системы линейных уравненийМетоды системы решения линейных уравнений. Метод Гаусса. Фундаментальная система решений.
- Векторные пространстваВекторное пространство, базис и размерность. Векторные подпространства, свойства подпространств. Сопряженное пространство.
- Линейные отображенияЛинейные отображения. Матрицы линейных отображений. Композиция линейных отображений и произведение матриц. Ядро и образ линейного отображения. Сопряженное отображение.
- Линейные операторыЛинейные операторы. Определитель линейного оператора. Определитель композиции операторов.
- Скалярное произведениеСкалярное произведение. Ортогонализация Грама-Шмидта.
- Билинейные и квадратичные формыСимметрические билинейные формы и квадратичные формы. Поляризация. Диагонализуемость. Методы Лагранжа и Якоби. Индекс инерции квадратичной формы, критерий Сильвестр
- Евклидово и эрмитово пространствоЕвклидово и эрмитово пространство. Метрическая геометрия. Псевдоевклидово пространство, пространство Минковского.
- Векторное пространство с операторомПреобразование линейного оператора при смене базиса. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Характеристический многочлен. Диагонализуемость.
- Евклидово и эрмитово пространство с операторомСимметрические, кососимметрические, ортогональные, эрмитовы, косоэрмитовы, унитарные операторы. Собственные значения, диагонализуемость. Линейные операторы и билинейные функции в пространстве со скалярным произведением.
- Жорданова нормальная формаКорневые векторы. Разложение пространства с оператором в прямую сумму корневых подпространств. Нильпотентные операторы.
- ГруппыДействие группы на множестве. Примеры: простейшие конечные группы, группы отражений, кристаллографические группы. Гомоморфизмы групп.
- ТензорыПримеры тензоров. Двойственность и свертки. Симметрические и кососимметрические тензоры.
- Кольца вычетовИзучение колец вычетов для целых чисел и для многочленов
- ПоляИзучение основ алгебраической теории конечных и бесконечных полей
- Геометрия кватернионов, понимаемых как комплексные матрицы 2x2, инвариантные относительно вещественной структуры, переводящей стандартную эрмитову форму на пространстве матриц в поляризацию квадратичной формы det.Норма, обращение, образующие и соотношения. Корни уравнения q^2=-1 образуют сферу S^2 чисто мнимых кватернионов нормы 1. Сфера S^3 всех кватернионов нормы 1 — это унитарная группа SU(2), действие кватерниона q∈SU(2) сопряжением на пространстве I ≅ R^3 чисто мнимых кватернионов является поворотом вокруг прямой, которая высекается из I плоскостью П(q), порождённой 1 и q, на угол, равный удвоенному аргументу кватерниона q, рассматриваемого как комплексное число в плоскости П(q), отождествлённой с C по правилу x +iy∈С ↔ x∙1 + y∙v(q)∈П(q), где v(q) — единичный направляющий вектор прямой I ∩ П(q), глядя вдоль которого измеряется угол поворота пространства I относительно этой прямой. Универсальное накрытие Универсальное накрытие SU(2) →→ SO(3), расслоение Хопфа S^3 →→ S^2.
- ГруппыОсновы теории групп, включая действия групп на множествах
- Линейная алгебраИзучение основ линейной алгебры
- Линейные операторы и матрицыОпределения: линейные операторы, матрица линейного оператора. Примеры: линейные отображения плоскости, умножение на многочлен и дифференцирование, умножение на элемент расширения полей. Матрица композиции двух линейных отображений с известными матрицами.
- Векторные пространстваОпределения: векторные пространства над полем, подпространства, векторы, линейные комбинации векторов, линейная зависимость. Примеры: координатное пространство, кольцо многочленов над полем, расширение поля, пространства над полем из двух элементов.
- Размерность и базисыОпределения: порождающий набор, базис, размерность. Приведение матрицы к ступечатому виду элементарными преобразованиями строк. Классификация конечномерных векторных пространств. Замена координат.
- Объёмы и определителиОпределения: равносоставленность, ориентированный объём параллелепипеда, определитель квадратной матрицы. Примеры: площадь параллелограмма, явные формулы для определителей порядка 1, 2 и 3. Определитель как объем. Формула разложения определителя по строке.
