Стохастическое исчисление

Аспирантура 2020/2021

Статус: Курс по выбору

Направление: 01.06.01. Математика и механика

Кто читает: Департамент математики

Когда читается: 2-й курс, 1 семестр

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Бородин Андрей Николаевич

Язык: русский

Кредиты: 4

Контактные часы: 36

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Целью освоения дисциплины «Стохастическое исчисление» является формирование у аспирантов вероятностного мышления и приобретение научных знаний в области теории случайных процессов, необходимых для научной деятельности. Задачи дисциплины: освоение современного аппарата теории случайных процессов, изучение различных методов исследования в области стохастического анализа, теории диффузионных процессов и теории распределений функционалов от случайных процессов.

Цель освоения дисциплины

Целью освоения дисциплины «Стохастическое исчисление» является формирование у аспирантов вероятностного мышления и приобретение научных знаний в области теории случайных процессов, необходимых для научной деятельности. Задачи дисциплины: освоение современного аппарата теории случайных процессов, изучение различных методов исследования в области стохастического анализа, теории диффузионных процессов и теории распределений функционалов от случайных процессов.

Планируемые результаты обучения

демонстрирует знание базовых понятий, составляющих основу теории случайных процессов, определений случайного процесса, случайной последовательности
демонстрирует знание основных свойств мартингалов, марковских случайных процессов, процессов с независимыми приращениями, характеризационных свойств для этих процессов
демонстрирует знание определения мартингалов, субмартингалов, случайные моменты остановки и их свойства
знает определение и свойства стохастического интеграла по броуновскому движению, свойства стохастического интеграла как функции верхнего предела, теорему о существовании и единственности решений стохастического дифференциального уравнения
демонстрирует способность к самостоятельному выбору и усовершенствованию адекватных задаче приемов исследования в выбранной области математики
Способен привлекать аппарат смежных математических направлений для решения задач конкретного исследования
Имеет навыки использования готовых и разработки новых математических моделей, основанных на случайных данных, умеет проводить верификацию модели, оценивать ее достоверность адекватными методами
умеет анализировать теоретические и прикладные аспекты научных статей, грамотно формулировать и доказывать теоретические положения, приводить верифицирующие их примеры и контрпримеры, оформлять результаты исследования

Содержание учебной дисциплины

Случайные процессы. Основные понятия.
Изложены базовые понятия, составляющие основу теории случайных процессов. Определение вероятностного пространства и случайных величин. Условные математические ожидания относительно σ-алгебр (приводятся примеры). Определение случайного процесса как семейства случайных величин, зависящего от параметра. Случайные последовательности, процессы с непрерывным временем и случайные поля. Эквивалентность случайных процессов. Модификации случайных процессов. Прогрессивно измеримые процессы Траектории случайных процессов конечномерные распределения. Теорема (А.Н. Колмогорова) о непрерывности траекторий. Оценка модуля непрерывности для случайных процессов и полей.
Основные классы случайных процессов.
К каким классам относятся мартингалы, марковские случайные процессы, процессы с независимыми приращениями, гауссовские и стационарные процессы. Описаны основные свойства этих процессов. Указаны взаимосвязи между этими процессами. Приведены характеризационные свойства для этих процессов. Значение теории мартингалов трудно переоценить. В последнее время мартингалы находят приложения даже за рамками теории вероятностей, например, в математическом анализе. Марковское свойство лежит в основе такого механизма случайного изменения, который ближе всего ко многому из того, что происходит в реальной действительности. Процессы с независимыми приращениями и гауссовские процессы являются предельными для многих классов нормированных сумм независимых случайных величин (сумм малых случайных возмущений). Детально изучается процесс броуновского движения. Можно без всякого преувеличения сказать, что броуновское движение является основным случайным процессом.
Мартингалы.
Дается определение мартингалов, субмартингалов и изучаются основные их свойства. Рассматриваются случайные моменты остановки и их свойств. Мартингалы являются действенным аппаратом теории случайных процессов. Они эффективны при оценке супремумов случайных процессов и при доказательстве теорем о сходимости. Основные результаты этой теории таковы. Теорема (Дж. Дуба) о преобразовании свободного выбора. Неравенство (Дж. Дуба) для субмартингалов. разложение (Дж. Дуба) для субмартингалов. Квадратичная характеристика мартингала. Теорема о числе пересечений субмартигалом полосы (a, b). Теорема (Дж. Дуба) о сходимости субмартингалов.
Стохастические интегралы. Стохастические дифференциальные уравнения.
Основы стохастического исчисления были заложены японским математиком К. Ито. На начальном этапе создания этой теории практически невозможно предвидеть, насколько плодотворной она окажется. Ее роль для теории случайных процессов можно сравнить с ролью дифференциального исчисления для математического анализа и других дисциплин. Теория стохастических дифференциальных уравнений явилась естественным развитием теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Стохастические интегралы по броуновскому движению, траектории которого имеют неограниченную вариацию, принципиально отличаются от классических интегралов. Это приводит к тому, что стохастические дифференциалы от композиций гладких функций с решениями стохастических дифференциальных уравнений зависят от вторых производных функций, находящихся под знаком дифференциала, что абсолютно невозможно в классическом анализе. Дано определение и изучены свойства стохастического интеграла по броуновскому движению. Особое внимание уделено свойствам стохастического интеграла как функции верхнего предела, поскольку она лежит в основе развития всей теории. Представлены различные варианты формулы (К. Ито) стохастического дифференцирования. Центральное место занимает теорема о существовании и единственности решений стохастического дифференциального уравнения.

Элементы контроля

Домашнее задание
Письменная работа. В домашнем задании аспирант должен продемонстрировать знание основных концепций дисциплины, в форме развернутых ответов на вопросы по конкретным разделам и темам, умение решать задачи, анализировать реальные или стилизованные ситуации, а также самостоятельно применять адекватные задаче методы исследований.
Аудиторная работа
Оценивается активность аспирантов в обсуждении вынесенных на рассмотрение вопросов и заданий, демонстрация знакомства с рекомендованной литературой. В ходе аудиторной работы аспирант должен продемонстрировать умение ведения обсуждения по теме занятия и оперативного вовлечения в сформированную дискуссию по поставленным вопросам, к научно-исследовательской деятельности в области фундаментальной и/или прикладной математики.
Экзамен
Проводится в форме устного экзамена. Экзаменационный билет содержит два вопроса. Ответ и время на подготовку – 60 мин. На экзамене аспирант должен продемонстрировать владение основными положениями стохастического исчисления в форме устного ответа на экзаменационные вопросы по предложенной теме.
Домашнее задание
Письменная работа. В домашнем задании аспирант должен продемонстрировать знание основных концепций дисциплины, в форме развернутых ответов на вопросы по конкретным разделам и темам, умение решать задачи, анализировать реальные или стилизованные ситуации, а также самостоятельно применять адекватные задаче методы исследований.
Аудиторная работа
Оценивается активность аспирантов в обсуждении вынесенных на рассмотрение вопросов и заданий, демонстрация знакомства с рекомендованной литературой. В ходе аудиторной работы аспирант должен продемонстрировать умение ведения обсуждения по теме занятия и оперативного вовлечения в сформированную дискуссию по поставленным вопросам, к научно-исследовательской деятельности в области фундаментальной и/или прикладной математики.
Экзамен
Проводится в форме устного экзамена. Экзаменационный билет содержит два вопроса. Ответ и время на подготовку – 60 мин. На экзамене аспирант должен продемонстрировать владение основными положениями стохастического исчисления в форме устного ответа на экзаменационные вопросы по предложенной теме.

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (I семестр)
Накопленная оценка по дисциплине рассчитывается с помощью взвешенной суммы оценок за отдельные формы текущего контроля знаний следующим образом: Онакопленная= 0,7·ОДЗ + 0,3·ОАР, где ОДЗ – оценка за домашнее задание; ОАР – оценка за аудиторную работу. Способ округления накопленной оценки текущего контроля арифметический. Результирующая оценка по дисциплине (которая идет в диплом) рассчитывается следующим образом: Орезульт = 0,8·Онакопленная + 0,2·Оэкз, где Онакопленная – накопленная оценка по дисциплине; Оэкз – оценка за экзамен.

Программа дисциплины