Бакалавриат 2020/2021

Дифференциальные уравнения

Статус: Курс обязательный (Прикладная математика и информатика)

Направление: 01.03.02. Прикладная математика и информатика

Кто читает: Департамент больших данных и информационного поиска

Где читается: Факультет компьютерных наук

Когда читается: 2-й курс, 3, 4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Букин Кирилл Александрович, Галкин Артем Юрьевич, Запрягаев Александр Александрович, Оноприенко Анастасия Александровна, Протасов Владимир Юрьевич

Язык: русский

Кредиты: 5

Контактные часы: 80

Программа дисциплины

Аннотация

Математическое образование рассматривается как важнейшая составляющая в системе фундаментальной подготовки современного программиста. Исследование природных процессов и изучение закономерностей развития общества приводит к построению математических моделей, в большинстве из них используются дифференциальные уравнения. Программа предъявляет требования к содержанию лекционного материала, перечню тем практических занятий по данной дисциплине. Дисциплина «Дифференциальные уравнения» является одной из дисциплин подготовки специалистов с высшим образованием в области информационных технологий и является базовой для соответствующих дисциплин, изучаемых студентами на последующих курсах.

Цель освоения дисциплины

• Обучить студентов методам решения и исследования качественного поведения решений дифференциальных уравнений, составляющих основу математических моделей различных теоретических и практических инженерно-экономических задач
• Выработать навыки математического исследования прикладных вопросов и умения перевести инженерно-экономическую задачу на математический язык
• Повысить общий уровень математической культуры
• Научить самостоятельно изучать учебную и научную литературу по дифференциальным уравнениям

Планируемые результаты обучения

• Знать определения основных понятий теории дифференциальных уравнений
• Знать примеры приложения теории дифференциальных уравнений к экономическим и естественнонаучным задачам
• Уметь решать основные типы дифференциальных уравнений
• Знать доказательства основных теорем теории дифференциальных уравнений
• Уметь строить фазовые портреты дифференциальных уравнений
• Уметь исследовать качественные свойства дифференциальных уравнений
• Владеть навыками численного решения дифференциальных уравнений

Содержание учебной дисциплины

• Введение в теорию дифференциальных уравнений
  Понятие дифференциального уравнения. Примеры моделей, приводящих к дифференциальным уравнениям
• Простейшие примеры дифференциальных уравнений первого порядка
  Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Уравнения, сводящиеся к однородным. Линейное уравнение 1-ого порядка. Уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах. Методы понижения порядка для уравнений порядка выше первого.
• Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения
• Линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка
  Общие свойства таких уравнений. Линейно зависимые и независимые функции. Определитель Вронского. Структура общего решения линейного однородного дифференциальные уравнения n-ого порядка. Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-ого порядка. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Вид общего решения для различных типов корней. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-ого порядка. Структура общего решения. Метод вариации произвольных постоянных. Структура частного решения для линейного неоднородного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. Формула Остроградского-Лиувилля. Граничная задача. Теорема Штурма.
• Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
  Определение системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши для нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Общее, частное и особое решения. Сведение нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений к дифференциальному уравнению n-ого порядка.
• Нормальные автономные системы ДУ и устойчивость по Ляпунову
  Понятие устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости решений дифференциальных уравнений и систем. Классификация особых точек. Основные теоремы об устойчивости. Метод функций Ляпунова. Первые интегралы автономных систем.
• Примеры разностных уравнений
  Разностные уравнения в экономике (паутинообразная модель). Линейные разностные уравнения первого порядка.
• Методы решений разностных уравнений
  Построение фундаментальной системы решений уравнения по корням характеристического уравнения. Построение частного решения уравнения. Методы решений разностных уравнений с постоянными коэффициентами.
• Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка
  Линейные однородные уравнения. Задача Коши. Квазилинейные уравнения.
• Классификация линейных дифференциальных уравнения в частных производных второго порядка. Их применение для решения физических задач
  Решение задачи Коши для дифференциального уравнения второго порядка параболического типа на примере уравнения теплопроводности, формула Пуассона. Решение задачи Коши для дифференциального уравнения второго порядка гиперболического типа на примере волнового уравнения, формула Даламбера. Решение краевой задачи на примере уравнения Лапласа.

Элементы контроля

• Домашние задания
• Проект
• Контрольная работа
• Экзамен
  Экзамен письменный. Экзамен проходит с прокторингом. Студенты получают задание, решают на бумаге, в конце загружают фотографии/сканы решений. Экзамен длится 2 астрономических часа. Во время экзамена разрешено только смотреть в условия задач и писать на листах бумаги, которые были чистыми до начала экзамена. Если у студента случился обрыв связи продолжительностью менее десяти минут, он может продолжить написание экзамена (дополнительное время при этом не предоставляется). Если случился обрыв связи продолжительностью дольше 10 минут, то считается, что студент пропустил экзамен. В этом случае ему будет предложено без штрафов сдать экзамен устно в течение недели с момента данного экзамена.

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (4 модуль)
  0.3 * Домашние задания + 0.3 * Контрольная работа + 0.4 * Экзамен

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Арнольд В.И. - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Московский центр непрерывного математического образования - 2012 - 341с. - ISBN: 978-5-4439-2007-8 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/56392
• Сборник задач по дифференциальным уравнениям, Филиппов, А. Ф., 2000

Рекомендуемая дополнительная литература

• Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2: ., Данко, П. Е., 2005