Асимптотические методы

Бакалавриат 2020/2021

Статус: Курс по выбору (Прикладная математика)

Направление: 01.03.04. Прикладная математика

Кто читает: Департамент прикладной математики

Где читается: Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова

Когда читается: 3-й курс, 4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Выборный Евгений Викторович, Гайдуков Роман Константинович

Язык: русский

Кредиты: 4

Контактные часы: 80

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

В рамках курса «Асимптотические методы», студент познакомится с методами построения асимптотических оценок и асимптотических разложений в различных классах задач, в том числе для неявно заданных функций, интегралов и сумм, зависящих от параметра, ряда специальных функций, решений дифференциальных и разностных уравнений, решений уравнений в частных производных. В курсе рассматриваются множество классических методов: метод последовательных приближений, формула Эйлера-Маклорена, метод стационарной фазы, метод перевала, методы ВКБ, методы теории возмущений, методы осреднения, методы пограничного слоя. Данные методы повсеместно применяются при математическом моделировании в математической физике, компьютерных науках, математической экономике.

Цель освоения дисциплины

Ознакомление студентов с основными понятиями и методами асимптотического анализа

Планируемые результаты обучения

Приобретение студентом знаний об основных методах асимптотического анализа и приобретение навыков применения этих методов в задачах.

Содержание учебной дисциплины

Асимптотические формулы
Предмет и методы асимптотического анализа. Символ эквивалентности, символы o и O ; алгебраические действия над ними. Асимптотическая оценка. Шкала бесконечно больших и бесконечно малых элементарных функций. Понятие асимптотической формулы (асимптотического представления). Алгебраические операции с асимптотическими формулами и суперпозиция асимптотических формул. Замена переменной в асимптотических формулах. Асимптотическая последовательность и асимптотический ряд (асимптотическое разложение).
Неявные функции и корни уравнений
Построению асимптотики функций, заданных неявно. Построение асимптотики корней уравнений. Асимптотический метод последовательных приближений.
Асимптотики функций, заданных интегралами с переменным пределом
Асимптотики функций, являющихся частичными интегралами расходящихся несобственных интегралов. Асимптотики функций, являющихся остатками сходящихся несобственных интегралов. Теоремы сравнения. Получение асимптотик интегралов при помощи формул Тейлора и при помощи интегрирования по частям.
Асимптотики сумм
Теорема об оценке сумм с помощью интегралов в случае монотонных членов. Теорема об оценке сумм с помощью интегралов посредством метода центральных прямоугольников. Построение асимптотик частичных сумм расходящихся рядов и остатков сходящихся. Методы оценок для сумм с медленно меняющимися и с быстро меняющимися слагаемыми. Многочлены Бернулли и формула Эйлера-Маклорена.
Асимптотики функций, заданных интегралом с параметром
Метод Лапласа. Метод стационарной фазы. Метод перевала.
Асимптотики решений дифференциальных уравнений
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Теоремы Бохера о линейной, экспоненциальной и синусоидальной асимптотике. Теоремы о ВКБ асимптотиках. Асимптотика функций Бесселя. Метод пограничного слоя.

Элементы контроля

Аудиторная работа
Самостоятельная работа
Экзамен
Аудиторная работа
Самостоятельная работа
Экзамен

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (4 модуль)
0.24 * Аудиторная работа + 0.36 * Самостоятельная работа + 0.4 * Экзамен

Программа дисциплины