Математический анализ

Бакалавриат 2020/2021

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Курс обязательный (Информатика и вычислительная техника)

Направление: 09.03.01. Информатика и вычислительная техника

Кто читает: Департамент прикладной математики

Где читается: Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова

Когда читается: 2-й курс, 1, 2 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Артамонов Сергей Юрьевич, Белова Мария Владимировна, Волкова Татьяна Викторовна, Гайдуков Роман Константинович, Дёмин Дмитрий Олегович, Жукова Лилия Фаилевна, Иванов Федор Ильич, Рабинович Александр Соломонович, Тарарушкин Евгений Викторович

Язык: русский

Кредиты: 4

Контактные часы: 56

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Настоящая дисциплина относится к циклу математических и естественнонаучных дисциплин и блоку дисциплин, обеспечивающих базовую подготовку. Изучение данной дисциплины базируется на знаниях и умениях приобретённых в рамках школьной программы по математике. Для освоения учебной дисциплины от студентов не требуется знаний и умений, выходящих за рамки школьной программы. Приобретенные при изучении дисциплины знания должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих курсов: • «Дифференциальные уравнения»; «Теория функций комплексного переменного»; «Теория вероятностей, математическая статистика и теория случайных процессов»; «Уравнения математической физики»; «Методы оптимизации»; «Исследование операций»; «Физика»; «Математическое моделирование»; «Численные методы»; «Теория управления»; «Случайные процессы и теория массового обслуживания». Формат изучения дисциплины: без использования онлайн курса.

Цель освоения дисциплины

Ознакомление студентов с основными понятиями и методами теории пределов, дифференциального и интегрального исчисления функций одного и нескольких действительных переменных;
Формирование естественнонаучного мировоззрения и развитие системного мышления, содействие фундаментализации образования.

Планируемые результаты обучения

Студент должен знать основные положения теории пределов и непрерывных функций, теории числовых и функциональных рядов, теории интегралов, зависящих от параметра, теории неявных функций и её приложений к задачам на условный экстремум, теории поля, основные теоремы дифференциального и интегрального исчисления функций одного и нескольких переменных.
Студент должен уметь определять возможности применения теоретических положений и методов математического анализа для постановки и решения конкретных прикладных задач, решать основные задачи, требующие вычисления пределов функций, производных и интегралов, разложения функций в ряды.
Студент должен иметь навыки использования стандартных методов и моделей математического анализа и их применения к решению прикладных задач.

Содержание учебной дисциплины

Евклидовы пространства и гладкие функции на них.
Евклидовы пространства. Модуль вектора. Неравенство Коши-Буняковского. Ортогональность. Ортонормированный базис. Ортогональное проектирование. Ортогонализация Грама-Шмидта в евклидовом пространстве. Сходимость последовательности в евклидовом пространстве. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Непрерывные функции на евклидовом пространстве. Предел функции на евклидовом пространстве. Дифференцируемые функции на евклидовом пространстве. Дифференциал и непрерывно дифференцируемые функции порядка. Градиент функции и его связь с дифференциалом. Непрерывная дифференцируемость порядка 2 и теорема Шварца. Непрерывная дифференцируемость порядка m и производная по мультииндексу. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. Локальный экстремум на евклидовом пространстве. Условия локального экстремума в терминах свойств дифференциалов. Условия локального экстремума в терминах свойств частных производных. Локальный экстремум функции двух переменных. Условный экстремум функции многих переменных. Метод множителей Лагранжа. Задачи на условный экстремум.
Кратные интегралы
Определение кратного интеграла. Интегрируемость непрерывной функции на измеримом компакте. Свойства кратного интеграла. Вычисление кратных интегралов. Правильные области в R^n. Площадь правильной области в R^2. Объем правильной области в R^3. Переход от кратного интеграла к повторному. Теорема о замене переменных. Полярные координаты. Цилиндрические координаты. Сферические координаты.
Криволинейные и поверхностные интегралы
Параметризация гладкой кривой. Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода: определение, методы вычисления, механический смысл. Поверхностные интегралы 1-го и 2-го рода: определение, методы вычисления, механический смысл. Формула Грина. Формула Стокса. Формула Гаусса-Остроградского.
Элементы теории поля
Скалярные и векторные поля. Поток векторного поля через поверхность. Дивергенция векторного поля. Циркуляция векторного поля. Ротор векторного поля. Оператор Гамильтона. Оператор Лапласа. Классификация векторных полей и их свойства.
Дифференциальное и интегральное исчисление функций нескольких переменных.
Область определения и множества уровня. Предел и непрерывность. Частные производные функций двух и трёх переменных, линеаризация. Уравнение касательной плоскости к поверхности. Приближённое вычисление функций. Производные старших порядков и их свойства. Производные суперпозиций. Производная по направлению и градиент функции. Дифференцирование и приближённое вычисление неявных функций. Исследование функции двух переменных на локальный и глобальный экстремум. Кратные интегралы, методы их вычисления. Полярные, сферические и цилиндрические координаты. Геометрические приложения кратных интегралов (площадь фигуры, объём области). Физические приложения кратных интегралов (масса, центр тяжести, моменты инерции).
Дифференциальные уравнения
Дифференциальное уравнение первого порядка. Задача Коши. Существование и единственность решения. Уравнения с разделяющимися переменным и с однородной правой частью, линейные уравнения. Задача Коши для общего дифференциального уравнения второго порядка. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, их свойства и методы решения. Метод Лагранжа (вариации постоянных).

Элементы контроля

Контрольная работа №1
Контрольная работа №2
Коллоквиум
Аудиторная
Экзамен
В диплом выставляется оценка, являющаяся средним арифметическим оценок за 1-ый, 2-ой семестры 1-ого курса и 1-ый семестр 2-ого курса.
Результирующая за 1-2 модули 1 года
Результирующая за 3-4 модули 1 года
Результирующая за 1-2 модули 1 года
Результирующая за 3-4 модули 1 года

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
О_итоговая=0.3* О_КР+0.2*О_Кол+0.5*О_экзамен О_КР=0.5*(О_КР1+О_КР2) О_Кол=0.8*О_устный_ответ+0.2*О_аудиторная_работа

Программа дисциплины