Бакалавриат
2020/2021![Цель освоения дисциплины](/f/src/global/i/edu/objectives.svg)
![Планируемые результаты обучения](/f/src/global/i/edu/results.svg)
![Содержание учебной дисциплины](/f/src/global/i/edu/sections.svg)
![Элементы контроля](/f/src/global/i/edu/controls.svg)
![Промежуточная аттестация](/f/src/global/i/edu/intermediate_certification.svg)
![Список литературы](/f/src/global/i/edu/library.svg)
Методы оптимизации
Статус:
Курс обязательный (Прикладная математика)
Направление:
01.03.04. Прикладная математика
Кто читает:
Департамент прикладной математики
Когда читается:
3-й курс, 1, 2 модуль
Формат изучения:
без онлайн-курса
Язык:
русский
Кредиты:
4
Контактные часы:
72
Программа дисциплины
Аннотация
Настоящая дисциплина является дисциплиной базовой части Профессионального цикла. Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах: математический анализ, линейная алгебра и геометрия, дифференциальные уравнения, функциональный анализ, компьютерный практикум. Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями: · знать основные разделы дифференциального исчисления функций одной и нескольких переменных; · уметь вычислять интеграл Римана от функции одной и нескольких переменных; · уметь работать с матрицами, вычислять определитель матрицы, вычислять собственные значения матрицы; · уметь решать системы уравнений; · уметь решать основные типы обыкновенных дифференциальных уравнений; · владеть навыками работы с функционалами · уметь вычислять нормы функционалов · уметь работать в системе MatLab, Mathematica; · знать основные методы численного решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений. Основные положения дисциплины могут быть использованы в дальнейшем при изучении дисциплин Теория управления, Численные методы, Прикладные стохастические модели, при выполнении выпускной квалификационной работы
Цель освоения дисциплины
- Одной из важных задач специалиста в области Прикладной математики является разработка математической модели конкретной проблемы, ее анализ и интерпретация, выбор приемлемого или наилучшего решения. Цели данного курса – развить навыки формализации проблемы в виде оптимизационной задачи, освоение методов нахождения наилучших решений, приобрести навыки применения соответствующего программного обеспечения. Планируемые к изучению разделы: метод множителей Лагранжа в конечномерных задачах оптимизации, динамическое программирование, основы вариационного исчисления и оптимального управления. Будут рассмотрены приложения изученных методов для решения прикладных задач.
Планируемые результаты обучения
- Студент должен знать: - понятие целевого функционала, - определения локального и глобального экстремума.
- Студент должен знать: - необходимые и достаточные условия оптимальности в одномерной задаче без ограничений; - необходимые и достаточные условия оптимальности в многомерной задаче без ограничений; - основные методы исследования знакоопределенных и знакопеременных матриц.
- Студент должен знать: -необходимые условия оптимальности в конечномерных задачах с ограничениями в виде равенств в форме правила множителей Лагранжа; - достаточные условия оптимальности в конечномерных задачах с ограничениями в виде равенств; - условия регулярности для задач с ограничениями в виде равенств.
- Студент должен знать: - необходимые условия оптимальности в конечномерных задачах с ограничениями в виде равенств и неравенств в форме правила множителей Лагранжа; - достаточные условия оптимальности в конечномерных задачах с ограничениями в виде равенств и неравенств.
- Студент должен знать: основные постановки задач динамического программирования; принцип оптимальности Беллмана;
- Студент должен знать: алгоритм решения задачи вариационного исчисления и оптимального управления
- Студент должен уметь: - исследовать функцию на выпуклость и вогнутость по определению, по надграфику, по второй производной.
Содержание учебной дисциплины
- Основные понятия в теории экстремальных задач.Постановка задачи оптимизации: определение критерия эффективности (целевой функции), множества допустимых решений, локального и глобального экстремума. Условия существования решений в задачах оптимизации.
- Конечномерные задачи безусловной оптимизации.Необходимые и достаточные условия оптимальности в одномерной задаче без ограничений. Знакоопределенные и знаконеопределенные симметрические матрицы. Критерий Сильвестра. Необходимые и достаточные условия оптимальности в многомерной задаче без ограничений. Алгоритмы численной оптимизации (градиентный метод, метод наискорейшего спуска, метод сопряженных направлений, метод сопряженных градиентов)
- Конечномерные задачи условной оптимизации. Метод множителей Лагранжа.Геометрическая интерпретация задачи условной оптимизации. Задачи оптимизации с ограничениями в виде равенств. Условия оптимальности. Задача с ограничениями в виде равенств и неравенств. Активные и пассивные ограничения. Необходимое условие оптимальности первого порядка в виде правила множителей Лагранжа. Необходимое и достаточное условия оптимальности второго порядка. Интерпретация множителей Лагранжа. Множители Лагранжа как показатели чувствительности целевой функции к изменению ограничений.
- Выпуклая задача оптимизации.Выпуклые множества. Примеры выпуклых множеств. Свойства выпуклых множеств. Выпуклые и вогнутые функции. Надграфик выпуклой функции. Вторая производная у дважды дифференцируемой выпуклой функции. Свойства выпуклых функций. Выпуклая задача оптимизации. Свойства множества решений в выпуклой задаче оптимизации. Локальные и глобальные решения в выпуклой задаче. Критерий оптимальности для выпуклой задачи. Задача выпуклого программирования. Теорема Куна – Таккера. Условия регулярности в задаче выпуклого программирования. Условие Слейтера. Теорема Куна – Таккера в форме теоремы о седловой точке функции Лагранжа. Задача линейного программирования. Особенности и методы решения.
- Метод динамического программирования.Многошаговые оптимизационные задачи. Метод динамического программирования. Особенности модели. Принцип оптимальности Беллмана. Функциональные уравнения Беллмана. Применение метода динамического программирования: задача о замене оборудования, задача о финансировании проектов.
- Вариационное исчисление и оптимальное управление.Элементы вариационного исчисления. Основные понятия и определения. Простейшая задача классического вариационного исчисления. Необходимое условие оптимальности. Уравнение Эйлера. Достаточные условия оптимальности в простейшей задаче. Условия оптимальности в задаче Больца. Изопериметрическая задача. Задача Лагранжа. Необходимые условия оптимальности. Постановка задачи оптимального управления. Необходимые условия оптимальности в задаче оптимального управления.
Элементы контроля
- Проверочная работа №1проверяет знания по темам «Условия оптимальности в задаче оптимизации без ограничений», проводится в аудитории, продолжительность 20- 30 минут.
- Проверочная №2 (аудиторная контрольная работа № 1)Проводится по темам «Условия оптимальности в конечномерных задачах с ограничениями в виде равенств и равенств-неравенств». Контрольная работа выполняется в аудитории каждым студентом самостоятельно по одному из вариантов и оформляется в отдельной тетради или на отдельных листах. Варианты однотипные.
- Проверочная работа №3 (домашнее задание)Проверяет навыки решения задач динамического программирования.
- Проверочная №4 (аудиторная контрольная работа №2)Проводится по разделу «Вариационное исчисление». Контрольная работа выполняется в аудитории каждым студентом самостоятельно и оформляется в отдельной тетради или на отдельных листах. Варианты однотипные.
- Проверочная работа №5 (домашнее задание)Проверяет навыки решения задач оптимального управления.
- Аудиторная
- контрольно-измерительные материалыконтрольно-измерительные материалы
- Итоговая контрольная работаИтоговая контрольная работа проводится в форме письменного теста, который содержит задания с выбором ответа и со свободным ответом.
Промежуточная аттестация
- Промежуточная аттестация (2 модуль)Оценка за промежуточную аттестацию выставляется по следующей формуле: Оаттест=0,6*Отекущая + 0,4*Оитоговая кр , где Отекущая = 10*(сумма оценок за все проверочные работы + оценка за активность)/(максимальная сумма баллов за все проверочные + максимальная оценка за активность на семинаре). Отекущая – целое число от 0 до 10, округление арифметическое.
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Методы оптимальных решений. Т.1: Общие положения. Математическое программирование, , 2010
- Оптимальное управление, Галеев, Э. М., 2008
- Сборник задач по оптимизации : теория, примеры, задачи: задачник для вузов, Алексеев, В. М., 2005
Рекомендуемая дополнительная литература
- A first course in optimization theory, Sundaram, R. K., 2011