Математический анализ

Бакалавриат 2020/2021

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Курс обязательный (Физика)

Направление: 03.03.02. Физика

Кто читает: Факультет математики

Где читается: Факультет физики

Когда читается: 2-й курс, 1, 2 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Богачев Владимир Игоревич, Щечкин Антон Игоревич

Язык: русский

Кредиты: 4

Контактные часы: 64

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Курс математического анализа в первых двух семестрах первого года обучения знакомит учащихся с основами дифференциального и интегрального исчисления функций одного и нескольких переменных. Основные понятия курса: предел последовательности, сходимость рядов, непрерывные функции, производная и дифференцируемость функций одного переменного, интеграл Римана, несобственный интеграл Римана, интеграл Лебега, производная функций нескольких переменных.

Цель освоения дисциплины

Целями освоения дисциплины «Математический анализ» являются: 1. Формирование компетенций, предусмотренных ФГОС основной образовательной программы и закрепленных в учебном плане за данной дисциплиной; 2. Формирование у студентов базовых знаний о методах классического математического анализа; 3. Формирование у студентов знаний по теоретическим основам математического анализа и понимания его места и роли в системе современной науки и техники; 4. Формирование навыков работы с функциями, последовательностями и интегралами; 5. Получение студентами навыков и умений решать стандартные задачи математического анализа; 6. Формирование у студентов навыков применения методов математического анализа в исследовательской деятельности.

Планируемые результаты обучения

1. Формирование компетенций, предусмотренных ФГОС основной образовательной программы и закрепленных в учебном плане за данной дисциплиной.
2. Формирование у студентов базовых знаний о методах классического математического анализа.
3. Формирование у студентов знаний по теоретическим основам математического анализа и понимания его места и роли в системе современной науки и техники.
4. Формирование навыков работы с последовательностями.
5. Получение студентами навыков и умений решать стандартные задачи математического анализа.
6. Формирование у студентов навыков применения методов математического анализа в исследовательской деятельности.
Формирование навыков работы с последовательностями и пределами.
Формирование навыков работы с производными.
Формирование навыков работы с числовыми рядами.
Формирование навыков работы с интегралами.
Знакомство с основами теории метрических пространств.
Освоение понятия многомерного интегралы и выработка навыков работы с ним.
Выработка навыков работы с несобственным интегралом.
Знакомство с основными идеями и результатами теории интеграла Лебега.
Формирование навыков работы с производными функций нескольких переменных и с приложениями дифференциального исчисления в многомерных пространствах.

Содержание учебной дисциплины

Множества, числа и последовательности.
Базовые понятия, относящиеся к множествам, числам и последовательностям. Натуральные, целые и рациональные числа. Аксиоматика вещественных чисел. Точная верхняя и точная нижняя грани множества. Предел последовательности. Монотонные последовательности и их пределы. Фундаментальная последовательность. Существование предела фундаментальной последовательности. Примеры пределом. Число e. Существование общей точки вложенных отрезков. Существование сходящейся подпоследовательности ограниченной последовательности. Существование конечного подпокрытия отрезка для всякого покрытия интервалами. Модель вещественных чисел на основе фундаментальных последовательностей рациональных чисел.
Предел функции и непрерывность.
Предел функции в точке. Односторонние пределы. Непрерывность функций. Свойства непрерывных функций. Существование минимума и максимума функции, непрерывной на отрезке. Теорема о промежуточных значениях. Точки разрыва и их классификация. Элементарные функции и их непрерывность.
Производная.
Определение производной. Касательная к графику функции в точке. Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Правило Лопиталя. Производные элементарных функций. Таблицы производных и первообразных элементарных функций. Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Точки локального экстремума. Теорема Ферма. Теорема Ролля. Теоремы Лагранжа и Коши. Правило Лопиталя. Вторая производная. Производные высших порядков. Формула Тейлора. Монотонные дифференцируемые функции. Выпуклые и вогнутые функции. Критерий выпуклости дифференцируемой функции. Критерий выпуклости дважды дифференцируемой функции. Исследование функции с помощью первой и второй производных. Достаточное условие локального максимума и локального минимума в точке в терминах первой и второй производной.
Ряды.
Ряды. Признаки сходимости для рядов с неотрицательными членами. Сходимость ряда. Абсолютная сходимость. Достаточные условия Коши и Даламбера сходимости неотрицательных рядов.
Интеграл Римана функций одной переменной.
Первообразная. Правила интегрирования. Табличные интегралы. Интеграл Римана для непрерывных функций. Теорема о среднем для интеграла непрерывной функции и ее применения. Дифференцирование интеграла по верхнему пределу, связь с неопределенным интегралом и формула Ньютона – Лейбница. Применения формулы Ньютона – Лейбница: замена переменной и формула интегрирования по частям. Вторая теорема о среднем. Формула Тейлора с интегральным представлением остаточного члена. Общее определение интеграла Римана. Суммы Дарбу. Свойства интеграла Римана. Функции Дирихле и Римана. Критерий Лебега интегрируемости по Риману.
Метрические пространства.
Понятие метрического пространства. Норма и расстояние в n-мерном пространстве. Пространства ограниченных функций. Сходящиеся и фундаментальные последовательности. Полные метрические пространства. Открытые и замкнутые множества. Компактные метрические пространства (определение и формулировка теоремы о равносильных условиях). Компактные множества в конечномерном пространстве. Непрерывные функции на метрических пространствах. Существование минимума и максимума непрерывной функции на компакте. Непрерывные функции многих переменных.
Несобственный интеграл Римана.
Несобственный интеграл Римана на ограниченном и на неограниченном промежутке. Достаточное условие Абеля – Дирихле сходимости несобственного интеграла.
Многомерный интеграл Римана.
Определение многомерного интеграла Римана и основные его свойства.
Основы теории интеграла Лебега.
Внешняя мера Лебега. Измеримость по Лебегу. Понятие сигма-алгебры. Формулировка теоремы о счетной аддитивности внешней меры на классе измеримых множеств. Теорема об инвариантности меры Лебега при ортогональных преобразованиях. Пример Витали. Борелевские множества и их измеримость по Лебегу. Измеримые по Лебегу функции. Простые функции. Интеграл Лебега от простой функции. Интеграл Лебега от ограниченной функции. Общее определение интеграла Лебега и его основные свойства.
Производные функций нескольких переменных.
Линейные отображения. Норма линейного оператора. Дифференцируемость функций нескольких переменных. Производная и градиент. Частные производные и связь с дифференцируемостью. Производные линейных операторов и квадратичных форм. Якобиан. Формула замены переменных в многомерном интеграле.

Элементы контроля

домашние задания
Регулярные домашние задания по курсу, график сдачи устанавливается преподавателем.
Экзамен
Контрольные работы
Письменная контрольная работа. В весеннем семестре 2019-2020 проводится две контрольные работы
Коллоквиумы
Устный коллоквиум по темам курса. В весеннем семестре 2019-2020 уч.года проводится 2 коллоквиума
домашние задания
Регулярные домашние задания по курсу, график сдачи устанавливается преподавателем.
Экзамен
Контрольные работы
Письменная контрольная работа. В весеннем семестре 2019-2020 проводится две контрольные работы
Коллоквиумы
Устный коллоквиум по темам курса. В весеннем семестре 2019-2020 уч.года проводится 2 коллоквиума

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
0.05 * домашние задания + 0.2 * Коллоквиумы + 0.25 * Контрольные работы + 0.5 * Экзамен

Программа дисциплины