Дифференциальные и разностные уравнения

Бакалавриат 2020/2021

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Курс по выбору (Экономика)

Направление: 38.03.01. Экономика

Кто читает: Департамент математики

Где читается: Факультет экономических наук

Когда читается: 2-й курс, 1, 2 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Романов Игорь Викторович

Язык: русский

Кредиты: 5

Контактные часы: 60

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Курс "Дифференциальные и разностные уравнения" связан с вопросами описания различных динамических процессов, возникающих в первую очередь в экономике, а также в ряде других наук. Рассматриваются не только строгие математические методы и основные теоремы, но и конкретные примеры из макро -, микроэкономики и демографии.

Цель освоения дисциплины

• ознакомление студентов с методами решения дифференциальных уравнений; • формирование общего представления о теоретических основах предмета; • знакомство с прикладными задачами дисциплины

Планируемые результаты обучения

В результате освоения дисциплины студент должен знать основы дисциплин, предусмотренных базовым и рабочим учебными планами теории дифференциальных уравнений, необходимые для дальнейшего изучения последующих;
Владеть - способностью выбрать инструментальные средства для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей, проанализировать результаты расчетов и обосновать полученные выводы;
Владеть - способностью выбрать инструментальные средства для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей, проанализировать результаты расчетов и обосновать полученные выводы; - умением описания экономических процессов и явлений строить теоретические и эконометрические модели, анализировать и содержательно интерпретировать полученные результаты.
Умение применять методы дисциплины для решения задач, возникающих в макроэкономике, микроэкономике, теории оптимизации, эконометрике;
Владение способностью описания экономических процессов и явлений строить теоретические и эконометрические модели, анализировать и содержательно интерпретировать полученные результаты.
Способность вести исследовательскую деятельность, включая анализ проблем, постановку целей и задач, выделение объекта и предмета исследования, выбор способа и методов исследования, а также оценку его качества

Содержание учебной дисциплины

Тема 1
Введение. Основные понятия. Уравнения с разделяющимися переменными. Основные определения теории дифференциальных уравнений, фазовые пространства, векторные поля, интегральные траектории. Метод разделения переменных. Простейшая модель фирмы Линейные уравнения. Модель Мальтуса. Существование и единственность решения уравнений первого порядка. Уравнение в полных дифференциалах
Тема 2
Примеры уравнений первого порядка, разрешенных относительно первой производной. Линейные неоднородные уравнения. Уравнение Бернулли. Уравне-ние Риккати. Модель Солоу. Уравнения порядка выше первого, сводящиеся к уравнениям первого порядка (методы понижения порядка).
Тема 3
Линейные уравнения n-го порядка. Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Линейная зависимость и независимость решений. Пространство решений, размерность и базис. Определитель Вронского. Неоднородные уравнения, метод вариации произвольных постоянных, уравнения со специальной правой частью.
Тема 4
Линейные системы. Линейные однородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Экспонента матрицы. Основная теорема теории линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Формулировка теоремы о жордановой нормальной форме матрицы (ЖНФ). Вычисление матрицы экспоненты в случае кратных собственных значений, рассмотрение различных случаев, когда ЖНФ содержит одну или несколько жордановых клеток. Вывод формул решения для систем второго и третьего порядков. Модель выравнивания цены по уровню актива.
Тема 5
Теория устойчивости. Устойчивость положения равновесия по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость. Функция Ляпунова, теорема об устойчивости по первому приближению. Классификация положений равновесия линейной однородной системы второго порядка. Нелинейные автономные системы второго порядка, линеаризация систем, применение теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению для определения поведения решения в окрестности положения равновесия нелинейной системы. Модель Вольтерры-Лотки.
Тема 6
Разностные уравнения первого порядка. Линейные разностные уравнения и системы с постоянными вещественными коэффициентами. Разностное уравнение первого порядка. Основные определения. Задача Коши. Линейное уравнение первого порядка с переменными коэффициентами. Метод вариации постоянной. Линейное однородное разностное уравнение n-го порядка. Пространство решений, базис и размерность. Общее решение однородного разностного уравнение n-го порядка. Линейное неоднородное уравнение со специальной правой частью. Модель Самуэльсона-Хикса. Линейная однородная система разностных уравнений. Пространство решений базис и размерность. Общее решение системы разностных уравнений. Неоднородные системы. Метод вариации и метод исключения. Динамическая модель межотраслевого баланса.
Тема 7
Устойчивость положения равновесия разностных уравнений и систем разностных уравнений. Понятие устойчивости решений разностных уравнений и систем. Необходимые и достаточные условия устойчивости решений линейных разностных уравнений и систем с постоянными вещественными коэффициентами. Формулировка теоремы о существовании устойчивого положения равновесия нелинейного автономного разностного уравнения первого порядка. Примеры разностных уравнений в экономике и связь с понятием устойчивости (паутинообразная модель рынка).

Элементы контроля

экзамен
контрольная работа
экзамен
контрольная работа

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
Оитоговая =0,28·Ок/р +0,12·Одомашнее_задание +0,6·Оэкзамен, где Ок/р – оценка за контрольную работу в первом модуле, Одомашнее_задание – оценка за домашнее задание, выполняемое студентами во втором модуле, Оэкзамен – оценка за работу непосредственно на экзамене. Домашнее задание выдается студентам на 3-й неделе 2-го модуля и выполняется в течение недели (не более).

Программа дисциплины