Модели сложных систем

Магистратура 2020/2021

Статус: Курс обязательный (Математические методы моделирования и компьютерные технологии)

Направление: 01.04.02. Прикладная математика и информатика

Кто читает: Департамент прикладной математики

Где читается: Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова

Когда читается: 2-й курс, 1, 2 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Выборный Евгений Викторович, Соколик Алексей Алексеевич

Прогр. обучения: Математические методы моделирования и компьютерные технологии

Язык: русский

Кредиты: 5

Контактные часы: 56

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Дисциплина «Модели сложных систем» направлена на ознакомление студентов с основными моделями сложных систем, изучаемых в современной квантовой и статистической физике и применяемых для решения фундаментальных и прикладных задач. Учебный курс охватывает современные вычислительные методы и модели, используемые в квантовой механике атомов, молекул, наноструктур и конденсированных сред, основные модели современной статистической физики малых систем, стохастической и квантовой термодинамики. Для изучения курса студенты должны иметь базовые знания квантовой механики и статистической физики.

Цель освоения дисциплины

ознакомление студентов с основными моделями сложных систем, изучаемых в современной квантовой и статистической физике и применяемых для решения как фундаментальных, так и прикладных задач
формирование у учащихся навыков применения полученных знаний для решения научно-исследовательских и прикладных задач

Планируемые результаты обучения

формулирует основные методы численного моделирования многочастичных квантовых систем
воспроизводит алгоритмы методов теории возмущения, Хартри-Фока и конфигурационного взаимодействия
формулирует алгоритмы Метрополиса и Метрополиса-Гастингса
формулирует алгоритмы квантового вариационного метода Монте-Карло и интегрирования по путям методом Монте-Карло для моделирования квантовомеханических систем
описывает основные свойства спиновых стекол
формулирует алгоритмы классического и квантового отжига
определяет и описывает основные разновидности искусственных нейронных сетей и способы их применения для моделирования физических систем
формулирует алгоритм обучения машины Больцмана для генерации статистических распределений
воспроизводит и применяет флуктуационные теоремы
определяет и применяет основные понятия стохастической термодинамики

Содержание учебной дисциплины

Приближенные методы квантовой механики
Теория возмущений. Отталкивание энергетических уровней и формирование энергетических зон в твердых телах. Лондоновские дисперсионные силы. Вариационный принцип в квантовой механике, вариационный метод. Приближение среднего поля для многочастичной системы, уравнения Хартри-Фока. Однородный электронный газ, его хартри-фоковская и корреляционная энергии. Метод конфигурационного взаимодействия. Метод функционала плотности. Молекулярно-динамические расчеты, силовые поля. Приближение Борна-Оппенгеймера.
Метод Монте-Карло для моделирования квантовых систем
Расчеты интегралов методом Монте-Карло, выборка по значимости. Принцип детального равновесия, алгоритмы Метрополиса и Метрополиса-Гастингса. Сэмплинг классических статистических ансамблей. Критическое замедление сэмплинга в окрестности фазового перехода. Квантовый вариационный метод Монте-Карло. Вариационные волновые функции Слэтера-Ястроу. Уравнение Шредингера в мнимом времени, квантовый диффузионный метод Монте-Карло. Квантовый диффузионный метод конфигурационного взаимодействия. Интегрирование по путям методом Монте-Карло. Формула Троттера. Перестановки частиц в интегралах по путям. Моделирование сверхтекучих систем бозонов. Фермионная проблема знака в интеграле по путям. NP-полнота проблемы знака.
Применения искусственных нейронных сетей в квантовой и статистической механике
Сеть Хопфилда как аналог спинового стекла, ее использование для моделирования ассоциативной памяти. Однослойный перцептрон, дельта-правило для его обучения. Универсальная аппроксимационная теорема. Многослойные сети, глубокое обучение. Резервуарные вычисления. Анализ главных компонент и автокодировщики. Энергетический ландшафт нейронных сетей, концепция информационного бутылочного горлышка. Статистическая теория обучения. Использование нейронных сетей для моделирования физических систем и распознавания фазовых переходов. Физические нейроморфные вычисления. Машины Больцмана. Ограниченные машины Больцмана и методы их обучения. Генерация статистических распределений при помощи ограниченных машин Больцмана. Использование машин Больцмана и многослойных сетей для аппроксимации волновых функций и моделирования эволюции квантовых систем. Машины Изинга, модели Курамото и Хопфилда-Тэнка. Квантовые нейронные сети. Решение NP-трудных оптимизационных задач при помощи когерентных машин Изинга.
Теория стекол, классический и квантовый отжиг
Геометрическая и магнитная фрустрация. Структурные и спиновые стекла. Эргодичность тепловых систем. Нарушение эргодичности при фазовых переходах. Иерархия областей эргодичности в фазовом пространстве. Свойства спиновых стекол: эффекты старения и омоложения, иерархичность потенциального ландшафта, непрерывный набор параметров порядка, нарушение симметрии реплик и ультраметричность пространства состояний. Глауберова динамика спинового стекла. Симулированный отжиг как метод решения оптимизационных задач. Ускорение отжига за счет квантового туннелирования. Квантовый отжиг и адиабатические квантовые вычисления. Квантовый отжиг на сверхпроводниковых процессорах D-Wave. Квантовые спиновые стекла. Поперечная модель Изинга и ее описание при помощи формализма Сузуки-Троттера.
Стохастическая термодинамика
Статистические ансамбли и энтропия. Флуктуации в статистических системах. Теория больших отклонений. Принципы максимальной энтропии и максимального калибра. Микроканоническая плотность состояний, нулевое начало термодинамики. Энтропии Больцмана и Гиббса. Термодинамика систем с отрицательной температурой. Система в термостате, распределение Гиббса. Разделение теплоты и работы. Второе начало термодинамики, производство и поток энтропии. Марковская система со стохастической динамикой. Термодинамика неравновесных систем в установившемся состоянии. Стоимость поддержания установившегося состояния и термодинамические соотношения неопределенностей. Термодинамические протоколы и их обратимость. Траекторная термодинамика. Детальная флуктуационная теорема, ее связь с термодинамической стрелой времени. Соотношение Крукса. Равенство Ярзинского как обобщение второго начала термодинамики. Другие детальные и интегральные флуктуационные теоремы. Самоорганизация и диссипативная адаптация. Демон Максвелла и двигатель Сциларда. Термодинамика стирания информации и принцип Ландауэра. Термодинамические протоколы с обратной связью, обобщенные флуктуационные теоремы. Связь термодинамики и информации. Информация как термодинамический ресурс.

Элементы контроля

Экзамен
Контрольные работы

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
0.5 * Контрольные работы + 0.5 * Экзамен

Программа дисциплины