Численно-аналитические методы моделирования

Бакалавриат 2020/2021

Статус: Курс по выбору (Прикладная математика)

Направление: 01.03.04. Прикладная математика

Кто читает: Департамент прикладной математики

Где читается: Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова

Когда читается: 4-й курс, 1, 2 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Вульфсон Александр Наумович

Язык: русский

Кредиты: 8

Контактные часы: 60

Полная версия программы учебной дисциплины Задать вопрос

Аннотация

Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности. Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов по бакалаврской программе «Прикладная математика», изучающих дисциплину «Численно-аналитические методы моделирования». Курс включает основные сведения, необходимые для реализации полного цикла построения математических моделей, от математической постановки задачи до разработки программного обеспечения. Программа разработана в соответствии с федеральным государственным образовательным стандартом высшего образования по направлению подготовки 01.03.04 Прикладная математика (уровень бакалавриат).

Цель освоения дисциплины

Обеспечение усвоения студентами основных понятий и терминов вычислительной математики.
Формирование у студентов знаний и навыков, необходимых для понимания и решения задач численного анализа.
Обучение студентов грамотно классифицировать типы вычислительных процессов.

Планируемые результаты обучения

Знать постановку основных начально-краевых задач теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений математической физики на отрезке (задачи Коши для системы дифференциальных уравнений первого порядка; краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка и задачи Коши для уравнения теплопроводности)
Знать основные конечно-разностные схемы, используемые для решения начальных и краевых задач теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений математической физики
Знать основные методы решения линейных алгебраических систем, соответствующих конечно-разностным аппроксимациям и схемам, (прямые и итерационные методы)
Знать основные понятия разностных методов (аппроксимация, устойчивость, сходимость)

Содержание учебной дисциплины

Векторно-матричные методы численного анализа на линейных пространствах
Пространство полиномов, интерполяционные полиномы Лагранжа. Сплайны первого порядка, пространства дифференцированных функций с краевыми условиями. Линейные операторы. Пространство линейных операторов. Операторы обыкновенных дифференциальных уравнений n-ой степени с постоянными коэффициентами и однородными начальными условиями Коши. Операторный полином. Теорема Гамильтона-Кэли и вычисление обратной матрицы. Факторизация операторов. Разложение операторного полинома на множители. Метод Лобатто. Матричный метод Краута. Метод Холецкого. Прогонка.
Векторно-матричные методы численного анализа на нормированных пространствах
Нормированные и евклидовы пространства. Аддитивная и мультипликативная норма. Нормы в векторном пространстве и пространстве матриц. Спектральная норма. Эквивалентность норм. Согласованная и подчинённая норма в пространстве ограниченных операторов. Евклидовы и энергетические нормы на абстрактных евклидовых пространствах и алгебрах. Энергетическая норма в конечномерном векторном пространстве. Неравенство Фридрихса. Сходимость по норме. Ряды в полных нормированных пространствах. Базисы Шаудера и ортогональные базисы. Матричные степенные ряды, сходящиеся по норме. Теорема Кэли Гамильтона и представление суммы сходящегося матричного степенного ряда интерполяционным многочленом Лагранжа-Сильвестра. Матричная экспонента. Метод представления экспоненциала матричным полиномом. Матричный ряд Неймана. Принцип сжимающих отображений. Решение систем линейных алгебраических и дифференциальных уравнений. Метод Лагранжа-Лиувилля.
Численные и аналитические методы решения эволюционных и стационарных задач в нормированных пространствах
Ортогональный базис операторов Штурма-Лиувилля и матричного оператора. Проекционный метод Фурье. Решение системы линейных алгебраических уравнений. Решение системы дифференциальных уравнений первого порядка.
Специальные вычислительные методы решения эволюционных и стационарных задач с симметричными и положительно определёнными операторами
Сведение дифференциального уравнения n-го порядка к системе линейных уравнений первого порядка. Явные и неявные разностные схемы решения систем линейных дифференциальных уравнений. Схемы Эйлера, Кранка-Никольсон, Рунге-Кутта, Хойна. Сопоставление разрешающего оператора разностной схемы с матричным экспоненциалом. Принцип стационирования. Устойчивость по Ляпунову. Схема Ричардсона. Методы Якоби и Зейделя. Разностные схемы уравнения теплопроводности.

Элементы контроля

самостоятельная работа №1
самостоятельная работа №2
аудиторный опрос
экзамен
самостоятельная работа №1
самостоятельная работа №2
аудиторный опрос
экзамен

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
0.1 * аудиторный опрос + 0.1 * самостоятельная работа №1 + 0.1 * самостоятельная работа №2 + 0.7 * экзамен

Программа дисциплины