Теория вероятностей и статистика

Бакалавриат 2020/2021

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Курс обязательный (Экономика)

Направление: 38.03.01. Экономика

Кто читает: Департамент прикладной экономики

Где читается: Факультет экономических наук

Когда читается: 2-й курс, 1-4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Борзых Дмитрий Александрович, Демешев Борис Борисович, Зехов Матвей Сергеевич, Коссова Елена Владимировна, Пильник Николай Петрович, Потанин Богдан Станиславович, Станкевич Иван Павлович, Языков Артем Анатольевич

Язык: русский

Кредиты: 10

Контактные часы: 144

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Курс Теория вероятности и Статистика предназначен для студентов бакалавриата направления 38.03.01 Экономика, прослушавших курсы линейной алгебры и математического анализа. В курсе рассматриваются основные понятия теории вероятностей и математической статистики, основные законы распределения случайных величин, методы оценивания неизвестных параметров распределений, основы проверки статистических гипотез. В ходе курса студенты учатся применять простейшие вероятностные модели, делать статистически обоснованные выводы, обрабатывать статистические данные с помощью современных пакетов программ для анализа данных на ПЭВМ.

Цель освоения дисциплины

Целями дисциплины «Теория вероятностей и статистика» являются овладение студентами навыками применения стандартных методов и моделей к решению вероятностных и статистических задач, обрабатывания статистической информации и получения статистически обоснованных выводов.

Планируемые результаты обучения

Знание основных понятий теории вероятностей, умение находить вероятности событий, описываемых изученными случайными экспериментами
Знание изученных дискретных и непрерывных вероятностных моделей и умение находить вероятности различных событий в рамках этих моделей.
Знание изученных определений, умение вычислять характеристики распределений случайных величин и векторов при заданном законе распределения, находить математическое ожидание и ковариационную матрицу при преобразовании случайных векторов.
Знание изученных распределений и их свойств, умение пользоваться статистическими таблицами
Умение вычислять и интерпретировать характеристики выборки
Умение использовать непараметрические критерии для проверки статистических гипотез
Умение применять и интерпретировать дисперсионный анализ
Знание предельных теорем теории вероятностей
Умение вычислять вероятности с помощью центральной предельной теоремы, неравенств Чебышёва и Маркова
Знание статистических свойств оценок параметров распределений
Умение находить оценки неизвестных параметров распределений
Умение строить доверительные интервалы для неизвестных параметров распределений
Умение проверять статистические гипотезы
Понимание принципов Байесовского подхода и умение решать простейшие задачи Байесовского оценивания

Содержание учебной дисциплины

Тема 1. Вероятности событий
Вероятностная модель эксперимента с конечным числом исходов. События. Основные правила действий с событиями и их вероятностями. Независимость событий. Условная вероятность. Формула полной веро-ятности. Формула Байеса. Схема испытаний Бернулли. Теорема Пуассона о прибли-женной формуле для вероятно-сти получения k успехов в n не-зависимых испытаниях.
Тема 2. Случайные величины и случайные векторы
Вероятностная модель эксперимента с бесконечным числом исходов. Понятие об аксиоматике Колмогорова. Случайные величины. Функция распределения случайной величины и ее основные свойства. Дискретные и абсолютно непрерывные распределения. Функция плотности. Основные дискретные распре-деления: биномиальное, Пуассона, гипергеометрическое, отрицательное биномиальное. Примеры непрерывных распре-делений. Понятие о случайном векторе. Совместное распределение нескольких случайных величин. Независимость случайных величин. Маргинальные распределения. Условное распределение. Многомерное нормальное распределение и его свойства
Тема 3. Характеристики распределений случайных величин и случайных векторов.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины и их свойства. Преобразования случайных величин, их распределения и характеристики. Математическое ожидание и ковариационная матрица случайного вектора. Коэффициент корреляции. Условное распределение и условное математическое ожидание.
Тема 4. Предельные теоремы
Неравенство Маркова. Неравенство Чебышёва. Виды сходимости последовательностей случайных величин. Закон Больших чисел. Центральная предельная теорема
Тема 5. Некоторые одномерные распределения, используемые в математической статистике
Определение и свойства Хи-квадрат распределения, распре-деления Стьюдента и Фишера. Их основные свойства. Работа с таблицами распределений.
Тема 6. Основные понятия статистики
Задачи статистики. Понятия генеральной совокупности и выборки. Репрезентативность выборки. Эмпирическая функция распределения. Полигон частот и гистограмма. Выборочные моменты и квантили. Выборочный коэффициент корреляции. Асимптотическое поведение выборочных моментов. Стратифицированная случайная выборка. Стратифицированное выборочное среднее. Дисперсия выборочного среднего при оптимальном и при пропорциональном размещении.
Тема 7. Статистическое оценивание неизвестных параметров распределений
Точечные оценки. Свойства оценок: несмещенность, состоятельность, эффективность. Метод моментов и метод наибольшего правдоподобия. Оценка параметров биномиального, нормального и равномерного распределений. Информация Фишера. Неравенство Рао-Крамера-Фреше.
Тема 8. Доверительные интервалы
Понятие о доверительных интервалах и принципах их построения. Доверительные интервалы для среднего при известной и неизвестной дисперсии. Доверительные интервалы для пропорции. Доверительные интервалы для дисперсии. Доверительные интервалы для разности двух средних Асимптотические доверительные интервалы для параметров функции правдоподобия. Дельта-метод.
Тема 9. Статистическая проверка гипотез
Проверка гипотез. Простые и сложные гипотезы. Критерий выбора между основной и альтернативной гипотезами. Уровень значимости. Ошибки первого и второго рода. Мощность критерия. Наиболее мощный критерий. Проверка гипотез и доверительное оценивание. Параметрические гипотезы. Проверка гипотез о математическом ожидании, пропорции и дисперсии. Проверка гипотез о разности двух средних, разности двух пропорций. Проверка гипотез о равенстве двух дисперсий нормальных распределений. Лемма Неймана-Пирсона. Критерий отношения правдоподобия. Критерии согласия: Критерий Пирсона хи-квадрат. Критерий согласия Колмогорова. Проверка гипотезы о независимости признаков. Проверка гипотезы об однородности данных.
Тема 10. Непараметрические критерии
Непараметрические критерии. Критерий знаков. Критерии Вилкоксона, Манна-Уитни. Коэффициент корреляции Спирмена.
Тема 12. Введение в Байесовские методы
Байесовский подход к оцениванию параметров и прогнозированию. Априорное и апостериорное распределение. Сопряжённые распределения. Байесовские интервалы. Монте Карло по схеме марковской цепи. Алгоритм Гиббса. Алгоритм Метрополиса-Гастингса. Байесовские аналоги классических тестов.
Тема 11. Дисперсионный анализ
Однофакторный и многофакторный дисперсионный анализ

Элементы контроля

контрольная работа 1
контрольные работы для пропустивших их по уважительной причине проводятся в день экзамена
контрольная работа 2
см. комментарий к к.р.1
экзамен 1
Промежуточный экзамен в сессию 2-го модуля. Экзамен проводится в дистанционном формате
контрольная работа 3
см. комментарии к к.р. 1
контрольная работа 4
см. комментарии к к.р.1
домашнее задание
содержание и форма домашнего задания определяются преподавателем, ведущим семинары
экзамен 2
Студенты, обучающиеся дистанционно, получают задание и сдают работу в системе ЛМС. Устная часть проходит на платформе zoom.
аудиторная активность 1
аудиторная активность 2
Включает активность на семинарах и лекциях, решение обязательных и дополнительных задач, выход к доске и т.д.

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
0.275*Контрольная работа1+0.275*Контрольная работа2+0.15*Аудиторная активность+0.3*Экзамен
Промежуточная аттестация (4 модуль)
0.5*Промежуточная аттестация (2 модуль) +0.5*(0.275*Контрольная работа3+0.275*Контрольная работа4+0.1*Домашнее задание+0.05*Аудиторная активность+0.3*Экзамен)

Программа дисциплины