Теория случайных процессов

Бакалавриат 2020/2021

Статус: Курс обязательный (Прикладная математика)

Направление: 01.03.04. Прикладная математика

Кто читает: Департамент прикладной математики

Где читается: Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова

Когда читается: 3-й курс, 1-3 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Гришунина Юлия Борисовна, Манита Лариса Анатольевна, Шнурков Петр Викторович

Язык: русский

Кредиты: 5

Контактные часы: 96

Полная версия программы учебной дисциплины Задать вопрос

Аннотация

Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности. Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 01.03.04. «Прикладная математика», изучающих дисциплину «Теория случайных процессов». Программа разработана в соответствии с: • Образовательным стандартом Федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» по направлению подготовки 01.03.04 «Прикладная математика», квалификация: бакалавр • Образовательной программой «Прикладная математика» направления 01.03.04 «Прикладная математика» подготовки бакалавра • Рабочим учебным планом университета по направлению 01.03.04 «Прикладная математика» подготовки бакалавра, утвержденным в 2018 г.

Цель освоения дисциплины

Целями преподавания данной дисциплины является получение фундаментальных знаний об общих свойствах случайных процессов, а также об основных свойствах отдельных классов случайных процессов (цепях Маркова, марковских процессах с непрерывным временем и дискретным множеством состояний, процессах восстановления, процессах с независимыми приращениями (пуассоновским и винеровским процессами), диффузными марковскими процессами).
Задача преподавания дисциплины состоит в создании у студентов устойчивого представления о многообразии изучаемых стохастических моделей и возможностях их использования при анализе реальных систем и процессов в экономике, технике и естественных науках.

Планируемые результаты обучения

знание основных понятий, определений, формулировок теорем и других фундаментальных результатов в теории случайных процессов
знание общих свойств и особенностей различных классов случайных процессов, а также важнейших характеристик данных процессов
умение устанавливать связи между различными результатами и свойствами случайных процессов и других стохастических моделей
умение осмысливать математические обоснования результатов теории и разбираться в доказательствах теорем, приведенных в курсе
умение проводить логические рассуждения и аналитические выводы, аналогичные тем, которые используются при изучении данной дисциплины
умение использовать учебную и научно-учебную литературу для уточнения и осмысления результатов, приведенных в ходе изучения данной дисциплины
умение использовать полученные знания для изучения новых разделов теории случайных процессов, а также других математических дисциплин, в которых исследуются проблемы применения стохастических моделей в различных областях экономики и техники
навыки работы с учебной литературой, нахождения и самостоятельного изучения необходимых материалов по данному курсу
навыки самостоятельного изучения материалов лекций
навыки самостоятельного анализа и решения задач, предлагаемых на практических занятиях и контрольных работах

Содержание учебной дисциплины

Понятие случайного процесса. Случайный процесс как математический объект.
Понятие случайного процесса как динамической стохастической модели. Примеры реальных случайных процессов. Первый подход к определению случайного процесса. Конечномерные распределения случайного процесса и их основные свойства. Случайная величина. Формальное определение случайной величины как измеримого отображения. Смысл свойства измеримости. Функция распределения случайной величины. Системы случайных величин и совместные распределения. Второй подход к определению случайного процесса (автоматический). Построение выборочного вероятностного пространства (пространства траекторий). Формальное определение случайного процесса как измеримого отображения. Семейство согласованных вероятностных мер (определение и связь с понятием системы конечномерных распределений). Теорема Колмогорова о существовании случайного процесса с заданной системой конечномерных распределений. Формулировка и схема доказательства. Значение теоремы Колмогорова для построения основ теории случайных процессов. Сложности, возникающие в ходе построения теории. Стохастическая эквивалентность случайных процессов. Пример стохастически эквивалентных процессов, имеющих траектории, различные по аналитическим свойствам. Понятие модификации. Идея исследования процесса по его основной модификации.
Цепи Маркова с дискретным множеством состояний. Общие свойства и основные характеристики.
Классическое определение марковской цепи (МЦ). Идея марковского свойства. Вариант марковского свойства. Представление конечномерных распределений через переходные вероятности. Свойства вероятностей перехода и их идейное содержание. Способы задания МЦ. Понятие класса состояний. Разбиение множества состояний на классы. Общие свойства классов. Основные свойства состояний: существенность, возвратность, положительность, периодичность. Существенность. Альтернатива солидарности. Утверждение о связи существенности и замкнутости. Возвратность. Основное определение. Теорема о необходимых и достаточных условиях возвратности (аналитический критерий). Альтернатива солидарности. Теорема о числе возвращений цепи в возвратное или невозвратное исходное состояние. Следствие: утверждение о времени пребывания в конечном невозвратном классе состояний. Связь свойств существенности и возвратности. Свойства возвратного класса состояний. Положительность. Основное определение. Связь свойств возвратности и положительности. Альтернатива солидарности. Описание связей между свойствами существенности, возвратности и положительности в конечных и счетных классах состояний. Периодичность. Понятие периодического и непериодического состояний. Альтернатива солидарности. Теорема о структуре замкнутого периодического класса. Циклические подклассы. Эволюция цепи в замкнутом периодическом классе состояний.
Цепи Маркова с дискретным множеством состояний. Стационарные эволюции. Предельные и стационарные распределения.
Определения предельного, эргодического и стационарного распределений МЦ. Понятие стационарности (в узком смысле) и достаточные условия стационарности в виде условий на начальное распределение. Понятие стационарности эволюции процесса (стационарного режима системы) и его прикладное значение. Эргодические теоремы для вероятностей перехода МЦ (без доказательства). Теорема о необходимых условиях существования пределов вероятностей перехода. Связь предельного и стационарного распределений. Теорема о необходимых и достаточных условиях существования единственного стационарного распределения. Анализ утверждений теоремы. Теорема о необходимых и достаточных условиях существования предельного распределения. Анализ условий и утверждения теоремы для конечного и счетного множества состояний. Теорема о необходимых и достаточных условиях существования эргодического распределения (варианты для конечного и счетного множества состояний). Общая схема связей условий и утверждений теорем о существовании эргодического, предельного и единственного стационарного распределений для конечной и счетной МЦ.
Марковские процессы с непрерывным временем и дискретным множеством состояний. Основные вероятностные характеристики и свойства.
Определение марковского процесса с непрерывным временем и дискретным множеством состояний. Вероятности перехода и их свойства. Представление конечномерных распределений через вероятности перехода. Задание марковского процесса. Инфинитезимальные характеристики (интенсивности перехода) марковского процесса, их существование, соотношения между ними. Дифференциальные уравнения Колмогорова для вероятностей перехода и вероятностей состояний. Условия выполнения уравнений для процесса со счетным множеством траекторий. Свойства траекторий марковских процессов. Распределение времени пребывания процесса в фиксированном состоянии. Отсутствие последействия для экспоненциального распределения и его связь с марковским свойством процесса. Вероятности переходов (скачков) процесса в моменты изменения состояний. Конструктивное определение марковского процесса с непрерывным временем и дискретным множеством состояний.
Марковские процессы с непрерывным временем и дискретным множеством состояний. Классические модели (процесс гибели и размножения, пуассоновский процесс).
Процесс гибели и размножения (ПГР). Определение, основные свойства ПГР, связанные с общими свойствами марковского процесса. Необходимые и достаточные условия существования предельного (стационарного) распределения, явное представление предельного распределения. Пуассоновский процесс. Определение пуассоновского процесса как однородного марковского процесса (процесса чистого размножения). Вероятности состояний и переходные вероятности. Свойства траекторий. Распределение приращений. Пуассоновский процесс как процесс с независимыми приращениями.
Процессы восстановления. Основы теории. Предельные теоремы.
Стохастическая модель восстановления как точечного процесса, определяемого последовательностью случайных точек на временной оси. Считающие процессы. Функции восстановления. Интегральные уравнения для функций восстановления. Вероятностный смысл дифференциала функции восстановления. Предельные теоремы для процессов восстановления. Элементарная теорема восстановления (теорема 1; без доказательства). Понятие решетчатого (арифметического) распределения, примеры. Теорема Блекуэлла (теорема 2; без доказательства). Определение непосредственной интегрируемости по Риману. Узловая теорема восстановления (теорема 3; без доказательства). Анализ условий узловой теоремы восстановления: исследование непосредственной интегрируемости по Риману, достаточные условия для непосредственной интегрируемости. Применения узловой теоремы восстановления. Распределения прямого и боратного времени возвращения (нестационарный случай). Нахождение соответствующих предельных распределений при помощи узловой теоремы восстановления. Простой процесс восстановления с экспоненциальным распределением интервалов между восстановлениями. Парадокс времени ожидания. Альтернирующий процесс восстановления. Вероятности того, что момент времени t накрывается интервалом первого или второго типа. Предельные значения указанных вероятностей (вывод при помощи узловой теоремы восстановления).
Диффузионные марковские процессы
Общее понятие марковского процесса. Переходные функции (вероятности перехода) и их свойства. Плотности вероятностей перехода и совместные плотности распределений значений процесса в различные моменты времени. Совместные (конечномерные) распределения значений процесса и их представления через плотности вероятностей перехода. Однородные марковские процессы и соответствующие соотношения для плотностей вероятностей перехода и совместных распределений. Диффузионные марковские процессы. Определения однородного и неоднородного диффузионных процессов. Теорема Колмогорова о достаточных условиях выполнения обратного дифференциального уравнения Колмогорова. Различные варианты обратного уравнения. Теорема о достаточных условиях выполнения прямого дифференциального уравнения (уравнения Колмогорова-Фоккера-Планка). Прямое диффузное уравнение для однородных процессов.
Процессы с независимыми приращениями. Винеровский процесс.
Общее определение случайного процесса с независимыми приращениями. Процесс с независимыми приращениями как марковский процесс. Винеровский процесс (броуновское движение). Определение винеровского процесса как процесса с независимыми приращениями. Стандартный винеровский процесс w(t). Вероятностные характеристики винеровского процесса: плотности вероятностей перехода и вероятностей состояний, совместные распределения. Свойства траекторий винеровского процесса. Распределения важнейших функционалов от винеровского процесса.

Элементы контроля

Контрольная (аудиторная) работа №1
Пересдача и переписывание аудиторных контрольных работ с целью повышения оценки не предусмотрено. В случае пропуска контрольной работы по уважительной причине преподаватель может предоставить студенту возможность выполнения работы в согласованное время. При отсутствии такой возможности вес оценки данной работы присоединяется к весу экзаменационной оценки. Контрольная работа 1 проводится в 1-2 модуле.
Контрольная (аудиторная) работа №2
Пересдача и переписывание аудиторных контрольных работ с целью повышения оценки не предусмотрено. В случае пропуска контрольной работы по уважительной причине преподаватель может предоставить студенту возможность выполнения работы в согласованное время. При отсутствии такой возможности вес оценки данной работы присоединяется к весу экзаменационной оценки. Контрольная работа №2 проводится в 1-2 модулях
Домашнее плановое задание №1
Пересдача и доработка домашних заданий не предусмотрена. В то же время, преподаватель в особых случаях может предоставить студенту возможность доработать и улучшить свою домашнюю работу в приемлемые сроки. Преподаватель вправе снизить оценку за домашнее задание при нарушении сроков сдачи работы, но не более, чем на два балла. Домашняя работа №1 сдается в 1-2 модулях.
Домашнее плановое задание №2
Пересдача и доработка домашних заданий не предусмотрена. В то же время, преподаватель в особых случаях может предоставить студенту возможность доработать и улучшить свою домашнюю работу в приемлемые сроки. Преподаватель вправе снизить оценку за домашнее задание при нарушении сроков сдачи работы, но не более, чем на два балла. Домашнее задание №2 сдается в 3 модуле.
Контрольная (аудиторная) работа №3
Пересдача и переписывание аудиторных контрольных работ с целью повышения оценки не предусмотрено. В случае пропуска контрольной работы по уважительной причине преподаватель может предоставить студенту возможность выполнения работы в согласованное время. При отсутствии такой возможности вес оценки данной работы присоединяется к весу экзаменационной оценки. Контрольная работа №3 проходит в 3 модуле.
Итоговый экзамен
1. Итоговый экзамен включает все разделы данной дисциплины. 2. Экзамен носит теоретический характер. 3. Экзамен проводится в письменной форме в режиме онлайн без прокторинга. 4. Итоговый экзамен является блокирующим элементом контроля. При получении неудовлетворительной оценки на экзамене результирующая оценка также становится неудовлетворительной и приравнивается к экзаменационной оценке. 5. Освобождение от экзамена не допускается.
Аудиторная работа 1
Аудиторная работа 2
Домашнее плановое задание №3
Пересдача и доработка домашних заданий не предусмотрена. В то же время, преподаватель в особых случаях может предоставить студенту возможность доработать и улучшить свою домашнюю работу в приемлемые сроки. Преподаватель вправе снизить оценку за домашнее задание при нарушении сроков сдачи работы, но не более, чем на два балла. Домашняя работа №3 сдается в 3 модуле.
Текущая оценка 2 периода
По итогам перечисленных плановых элементов контроля за 3 модуль определяется так называемая текущая плановая оценка во втором периоде Отек.2 = [0.2]* Оауд.2 + [0.2]*Ок.р.3 + [0.3]* Од.з.2 + [0.3]* Од.з.3

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
0.2 * Аудиторная работа 1 + 0.3 * Домашнее плановое задание №1 + 0.25 * Контрольная (аудиторная) работа №1 + 0.25 * Контрольная (аудиторная) работа №2
Промежуточная аттестация (3 модуль)
0.4 * Итоговый экзамен + 0.3 * Промежуточная аттестация (2 модуль) + 0.3 * Текущая оценка 2 периода

Программа дисциплины