Теория вероятностей и математическая статистика

Бакалавриат 2020/2021

Статус: Курс обязательный (Экономика)

Направление: 38.03.01. Экономика

Где читается: Санкт-Петербургская школа экономики и менеджмента

Когда читается: 2-й курс, 1, 2 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Жихарева Алена Аркадьевна, Игнатенко Вера Викторовна, Литвинова Виктория Викторовна, Рагозин Илья Андреевич

Язык: русский

Кредиты: 5

Контактные часы: 78

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Целями освоения дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» являются овладение методами вычисления вероятностей случайных событий и распределений случайных величин, решением статистических задач оценивания, понятиями теории проверки статистических гипотез, позволяющим студенту использовать эти знания и умения в таких дисциплинах, как «Методы оптимальных решений», «Математические модели в экономике», «Теория игр» и «Эконометрика». Курс "Теория вероятностей и математическая статистика" будет использоваться в теории и приложениях многомерного статистического анализа, математической экономики, эконометрики. Материалы курса могут быть использованы для разработки и применения численных методов решения задач из многих областей знания и для построения и исследования математических моделей таких задач.

Цель освоения дисциплины

Целями освоения дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» являются овладение методами вычисления вероятностей случайных событий и распределений случайных величин, решением статистических задач оценивания, понятиями теории проверки статистических гипотез, позволяющим студенту использовать эти знания и умения в таких дисциплинах, как «Методы оптимальных решений», «Математические модели в экономике», «Теория игр», «Эконометрика» и др. Курс «Теория вероятностей и математическая статистика» также используется в теории и приложениях многомерного статистического анализа, математической экономики, эконометрики. Материалы курса могут быть использованы для разработки и применения численных методов решения задач из многих областей знания и для построения и исследования математических моделей таких задач.

Планируемые результаты обучения

Умеет определять рассматриваемые события, решать задачи на нахождение вероятностей событий
Умеет решать задачи со случайными величинами и их характеристиками
Умеет применять при решении задач неравенство Чебышева, неравенство Маркова
Вычисляет выборочные характеристики, строит эмпирическую функцию распределения; гистограмму и полигон частот
Умеет решать задачи на построение доверительных интервалов для параметров нормального закона; проверку гипотез о среднем для нормальных выборок.
Умеет находить оценки параметров распределения
Выполняет проверку параметрических, непараметрических гипотез
Умеет решать задачи с двумерными случайными величинами и их характеристиками

Содержание учебной дисциплины

Теория событий и испытаний Бернулли
Базовые основания теории. Пространство элементарных событий. Свойства событий. Аксиомы теории вероятностей. Простейшие следствия из аксиом. Модель классической вероятности. Элементы комбинаторики. Геометрическая вероятность. Условная вероятность. Теорема умножения. Вероятность по крайней мере одного события. Формула полной вероятности. Формула Байеса или теорема гипотез. Независимые события. Испытания Бернулли и формула Бернулли. Предельные теоремы для вероятностей получения заданного числа событий – локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа, теорема Пуассона.
Одномерные случайные величины
Функция распределения случайной величины и ее свойства. Плотность распределения случайной величины. Ее геометрический и вероятностный смысл. Свойства плотности. Законы распределения дискретных случайных величин - биномиальное распределение, распределение Пуассона, геометрическое распределение. Законы распределения непрерывных случайных величин - показательное распределение, равномерное распределение, нормальный закон распределения. Свойства нормально распределенной случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Теоретические моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс. Интеграл Лапласа. Основные приложения нормального закона распределения - вероятность попадания в заданный интервал, вычисление вероятности заданного отклонения.
Закон больших чисел и центральная предельная теорема
Неравенство Чебышева. Сходимость в среднем квадратичном, по вероятности и с вероятностью 1. Закон больших чисел. Теоремы Чебышева и Маркова о законе больших чисел. Закон больших чисел в форме Бернулли. Принцип устойчивости частот. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных случайных величин – теорема Леви. Теорема Ляпунова. Интегральная теорема Лапласа – Муавра как частный случай теоремы Леви.
Двумерная случайная величина.
Функция распределения двумерной случайной величины и ее свойства. Плотность распределения двумерной случайной величины и ее свойства. Функция регрессии случайной величины. Двумерный нормальный закон распределения. Числовые характеристики двумерной случайной величины. Ковариация случайной величины. Матрица ковариаций. Коэффициент корреляции Пирсона.
Выборочный статистический метод
Статистика и вероятность. Случайная выборка и ее объем. Репрезентативность выборки. Эмпирическая функция распределения. Теорема Гливенко-Кантелли. Гистограмма и полигон. Выборочные моменты, мода и медиана. Выборочное среднее и выборочная дисперсия. Статистики и их выборочные распределения.
Теория нормальных выборок
Нормально распределенные наблюдения. Ортогональное преобразование нормального вектора. Степени свободы. Распределения хи-квадрат (Пирсона), Стьюдента и Фишера. Распределение выборочного среднего и выборочной дисперсии для нормальных выборок. Лемма Фишера. Доверительные интервалы для параметров нормального закона. Проверка гипотез о среднем и дисперсии для нормальных выборок. Двухвыборочные задачи. Проблема Беренса-Фишера.
Теория проверки статистических гипотез
Постановка задачи проверки гипотез. Статистический критерий. Основная и альтернативная гипотезы. Уровень значимости и мощность критерия. Проверка параметрических гипотез. Проверка непараметрических гипотез. Критерий согласия 2 Пирсона для простой и сложной гипотезы.
Статистическая теория оценивания параметров
Постановка задачи оценивания параметров. Оценки параметров. Свойства оценок – несмещенность, состоятельность, асимптотическая нормальность, эффективность. Минимаксные и байесовские оценки. Методы построения точечных оценок. Метод моментов. Метод наибольшего (максимального) правдоподобия. Преимущества метода максимума правдоподобия.

Элементы контроля

Контрольная работа 1
Контрольная работа 2
Контрольная работа 3
Аудиторная работа
Экзамен

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
0.14 * Аудиторная работа + 0.14 * Контрольная работа 1 + 0.14 * Контрольная работа 2 + 0.14 * Контрольная работа 3 + 0.44 * Экзамен

Программа дисциплины