2019/2020
Теория кодирования как введение в алгебру и арифметику
Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»
Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»
Статус:
Дисциплина общефакультетского пула
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
1, 2 модуль
Преподаватели:
Гриценко Валерий Алексеевич
Язык:
русский
Кредиты:
6
Контактные часы:
60
Программа дисциплины
Аннотация
Линейная алгебра и теория многочленов на полем из двух элементов немедленно приводят нас к таким математическим объектам, как конечная плос-кость Фано, грассманиан конечномерного пространства, лангранжиан (ортого-нальные себе подпространство), расширение поля F2, простая линейная группа GL3(F2) из 168 элементов. Теория кодирования связана с теорией Галуа конечных полей, теорией характеров, классическими линейными и спорадическими простыми группами.Целевая аудитория спецкурса — студенты второго курса и мотивированные студенты первого курса. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ПОДГОТОВКА: Базовые знание по алгебре: конечномерное линейное пространство, кольцо многочленов, факторгруппа, факторкольцо, квадра-тичная форма.
Цель освоения дисциплины
- В данном спецкурсе мы продолжим линию изучения современной алгебры и арифметики на примерах базовых вопросов теории кодирования.
Планируемые результаты обучения
- Слушатели познакомятся с системами корней и их группами Вейля, решетками Нимейера и Лича, дискретным преобразованием Фурье, числами Кэли, матрицами Адамара.
Содержание учебной дисциплины
- Линейные коды и и их дуальные коды как объекты линейной алгебры над конечными полями. Метрика Хэмминга. Соотношения ортогональности.
- Конечная проективная плоскость Фано и совершенный код Хэмминга. Группа автоморфизмов кода Хэмминга.
- Целочисленные решетки An и Dn и их системы корней. Группа Вейля системы корней. Код Хэмминга и четная унимодулярная решетка E8.
- Целочисленные решетки и их конечные дискриминантные группы. Расширения четных целочисленных решеток. Унимодулярные решетки ранга 16 и 24 (решетки Нимейера).
- Плотные упаковки евклидова пространства шарами.
- Код Голлея и решетка Лича. Совершенные коды.
- Конечные поля и неприводимые многочлены на конечными полями. Введение в теорию Галуа конечных полей, автоморфизм Фробениуса. Неприводимые многочлены над конечным полем. Идеалы и циклические коды.
- Преобразование Фурье на единичном кубе. Коды и теория инвариантов.
Элементы контроля
- Устный доклад
- Индивидуальная работа
- Письменное решение обязательных задач
- Письменное решение дополнительных задач
- Устный колоквиум (или решение теоретических задач)
Промежуточная аттестация
- Промежуточная аттестация (2 модуль)0.2 * Индивидуальная работа + 0.2 * Письменное решение дополнительных задач + 0.2 * Письменное решение обязательных задач + 0.2 * Устный доклад + 0.2 * Устный колоквиум (или решение теоретических задач)
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Влэдуц С.Г., Ногин Д.Ю., Цфасман М.А. - Алгеброгеометрические коды. Основные понятия - Московский центр непрерывного математического образования - 2003 - 504с. - ISBN: 5-94057-123-9 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/9314
Рекомендуемая дополнительная литература
- Острик В.В., Цфасман М.А. - Алгебраическая геометрия и теория чисел: рациональные и эллиптические кривые - Московский центр непрерывного математического образования - 2001 - 48с. - ISBN: 5-900916-71-5 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/9381