Непрерывные динамические системы с визуализацией в системе Python

2019/2020

Статус: Дисциплина общефакультетского пула

Кто читает: Факультет информатики, математики и компьютерных наук (Нижний Новгород)

Где читается: Факультет информатики, математики и компьютерных наук (Нижний Новгород)

Когда читается: 1-3 модуль

Преподаватели: Сафонов Клим Андреевич

Язык: русский

Кредиты: 6

Контактные часы: 52

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Данный курс посвящен изучению основ теории непрерывных динамических систем. На курсе вы получите представление о базовых понятиях и результатах теории динамических систем, научитесь качественно и численно исследовать простейшие модели регулярной и хаотической динамики. Изучение материала сопровождается компьютерным моделированием на языке программирования Python.

Цель освоения дисциплины

Основной целью освоения дисциплины «Непрерывные динамические системы с визуализацией в системе Python» является изучение основ качественной теории дифференциальных уравнений. В курсе рассматриваются математические модели процессов естествознания и социальных наук в форме дифференциальных уравнений, которые исследуются при помощи классических и современных методов качественной теории, включающих локальное исследование состояний равновесия и периодических орбит, применение теории индексов и энергетических функций (функций Ляпунова), элементы теории бифуркаций.

Планируемые результаты обучения

Реализация элементарных алгоритмов на языке программирования Python
Построение фазового портрета системы дифференциальных уравнений
Знание об основных локальных бифуркациях
Умение численного интегрирования системы дифференциальных уравнений
Построение бифуркационной диаграммы
Построение карты Ляпуновских показателей

Содержание учебной дисциплины

Введение в язык программирования Python.
Синтаксис, обзор встроенных функций и библиотек, работа с графикой. Построение поля направлений и решение простейших дифференциальных уравнений в системе Python.
Особенности численного моделирования дифференциальных уравнений.
Методы Эйлера и Рунге-Кутта, оценка точности, регулировка шага. Сходимость методов. Источники ошибок численного моделирования: разрыв правой части уравнения и её производной, негрубость исходной системы.
Одномерные потоки.
Условия устойчивости неподвижной точки одномерного потока. Типичные одномерные бифуркации (седлоузел, транскритическая, вилка).
Классические двумерные системы на плоскости (линейные и нелинейные осцилляторы, система Вольтерра-Лотки).
Колебания математического маятника, колебательный контур, осциллятор с сухим трением, модели сосуществования двух популяций. Качественное и численное построение фазовых портретов. Исследование зависимости фазового портрета от параметров системы.
Качественное исследование систем второго порядка.
Классификация изолированных состояний равновесия систем второго порядка. Теория индексов. Некоторые специальные типы динамических систем: градиентная, градиентно-подобная, обратимая. Теоремы о неподвижной точке типа центр нелинейной системы. Понятие о предельном цикле. Отображение последования Пуанкаре. Критерии отсутствия предельных циклов. Бифуркация Андронова-Хопфа.
Трехмерные потоки. Хаос. Система Лоренца.
Исследование бифуркаций в системах Вольтерра-Лоттки и Лоренца. Ляпуновские показатели.

Элементы контроля

Лабораторная работа
Лабораторная работа

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (3 модуль)
0.5 * Лабораторная работа + 0.5 * Лабораторная работа

Программа дисциплины