Теория функций комплексного переменного

Бакалавриат 2020/2021

Лучший по критерию «Полезность курса для Вашей будущей карьеры»

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Курс обязательный (Физика)

Направление: 03.03.02. Физика

Кто читает: Факультет физики

Где читается: Факультет физики

Когда читается: 2-й курс, 3 модуль

Формат изучения: с онлайн-курсом

Преподаватели: Родионов Ярослав Игоревич, Тихонов Константин Сергеевич, Хохлов Дмитрий Андреевич

Язык: русский

Кредиты: 2

Контактные часы: 40

Полная версия программы учебной дисциплины Задать вопрос

Аннотация

Главной целью курса «Теория функций комплексного переменного» является формирование у студентов навыков работы с функциями на комплексной плоскости, а так же введение в вычисление асимптотик функций, заданных интегральным представлением для комплексных значений аргумента. Значительное внимание уделяется отработке техники интегрирования в комплексной плоскости с участием многозначных функций, а так же понятию асимптотического ряда и явлению Стокса. Ряд семинарских задач посвящается применению полученных навыков к квантовой механике.

Цель освоения дисциплины

формирование у студентов знаний основный понятий теории функции комплексного переменного;
формирование у студентов навыков работы с функциями на комплексной плоскости;
формирование у студентов навыков введение в вычисление асимптотик функций, заданных интегральным представлением для комплексных значений аргумента.

Планируемые результаты обучения

Знать основные определения, формулы и теоремы комплексного анализа и операционного исчисления.
Уметь: исследовать функцию на аналитичность; разложить функцию в ряд Тейлора или Лорана; выделять однозначные ветви многозначных функций; находить отображения, осуществляемые элементарными аналитическими функциями; применять методы комплексного анализа для решения задач естествознания.
Иметь навыки (приобрести опыт): вычислять интегралы от функций комплексного переменного; вычислять интегралы с помощью теории вычетов; решать задачи для линейных дифференциальных уравнений операционным методом.
Умеет применять теорему Коши и теорему о вычетах.
Владеет методикой вычисления интегралов вычетами.
Знает методы интегрирования и дифференцирования функций комплексного переменного.
Уметь определять возможности применения теоретических положений и методов теории функций теории функций комплексного переменного для постановки и решения конкретных прикладных задач; уметь решать основные задачи на вычисление интегралов при помощи вычетов, на разложение функций в ряды Тейлора и Лорана, применять методы операционного исчисления к решению дифференциальных и интегральных уравнений

Содержание учебной дисциплины

Понятие ряда Лорана и определение вычета
Типы сингулярностей. Вычисление элементарных контурных интегралов с помощью теоремы о вычетах. Практика по разложению в ряды Лорана и по поиску вычетов. Разбор нескольких примеров с существенно особыми точками
Алгебра комплексных чисел.
Разбор геометрических примеров. Экспоненциальная форма комплексного числа. Тождество Эйлера. Решение уравнений в комплексных числах. Дифференцируемость функции комплексного переменного и условия Коши-Римана. Гармонические функции. Примеры Интеграл по контуру от функции комплексного переменного.
Практика по взятию контурных интегралов с помощью теоремы о вычетах
Понятие вычета на бесконечности. Лемма Жордана. Вычисление действительных интегралов с помощью леммы Жордана. Интеграл в смысле главного значения.
Понятие многозначной аналитической функции и точки ветвления.
Разрезы. Примеры. Поиск значений регулярных ветвей. Формулы для степеней и логарифмов
Взятие интегралов со степенями при помощи контуров.
Выбор разреза и контура. Практика по более сложным типам интегралов со степенями и логарифмами
Решение задачи Дирихле для двумерного уравнения Лапласа конформным отображением.
Практика по поиску простых конформных отображений
Понятие асимптотического ряда.
Оптимальное суммирование. Простейшие специальные функции и их аналитическое продолжение. Метод перевала. Примеры на построение асимптотическ интегралов. Вклад полюсов и разрезов в асимптотику
Уравнение Эйри. Явление Стокса.
Введение. Явление Стокса. Примеры.

Элементы контроля

Домашняя работа
Не входят в формулу оценивания, НО при невыполнении ДЗ при написании контрольной работы студенту выдается дополнительная задача
Письменный экзамен
Контрольная работа
Контрольная работа

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (3 модуль)
0.3 * Домашняя работа + 0.35 * Контрольная работа + 0.35 * Письменный экзамен

Программа дисциплины