Бакалавриат
2020/2021
Дифференциальные уравнения
Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»
Статус:
Курс обязательный (Математика)
Направление:
01.03.01. Математика
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
2-й курс, 1, 2 модуль
Формат изучения:
без онлайн-курса
Язык:
русский
Кредиты:
5
Контактные часы:
76
Программа дисциплины
Аннотация
Курс посвящён основам теории обыкновенных дифференциальных уравнений и включает в себя изучение общей теории ДУ (теоремы существования и единственности, зависимость от параметров), линейных ДУ, устойчивости решений.
Цель освоения дисциплины
- Освоение основных теорем базовых разделов теории дифференциальных уравнений (теорем существования и единственности, теории линейных систем, теория устойчивости)
- Освоение основных методов для явного решения и качественного исследования дифференциальных уравнений
Планируемые результаты обучения
- Знание условий существования и единственности решения ОДУ. Умение применить их к исследованию конкретных ОДУ.
- Знание утверждений о продолжимости решений ОДУ. Применение их в исследовании конкретных ОДУ.
- Знание основных свойств операторов Коши и преобразований потока. Умение вычислять их в простейших случаях.
- Знание примеров ОДУ, где отсутствует продолжимость решений на всю область определения правой части
- Умение производить для конкретных ОДУ переход от уравнений высокого порядка к системам, от неавтономных систем к автономным и выполнять простейшие преобразования фазовых координат и времени
- Знание результатов, связывающих локальное поведение системы и её линеаризации. Умение их применять к анализу конкретных ДУ.
- Знание условий непрерывной зависимости решения ОДУ от параметров и начальных условий. Умение применить их к исследованию конкретных семейств ОДУ.
- Знание условий дифференцируемости решения ОДУ по параметрам и началым условиям. Умение применить их к исследованию конкретных семейств ОДУ.
- Умение дифференцировать и искать разложения Тейлора решения конкретных ОДУ по параметрам и начальным условиям.
- Умение решать ОДУ с разделяющимися переменными. Умение применять различные методы для сведения различных классов ОДУ (однородные уравнения и др.) к уравнениям с разделяющимися переменными.
- Знание общих свойств линейных ОДУ (продолжимость решений, независимость решений в точке и в целом, уравнение Лиувилля-Остроградского). Умение применять их для анализа конкретных линейных ОДУ.
- Умение решать линейные ДУ и системы с постоянными коэффициентами, вычислять матричную экспоненту. Умение решать неоднородные линейные ОДУ, в том числе с квазимногочленами в правой части.
- Умение анализировать устойчивость неподвижных точек ОДУ с помощью функций Ляпунова и Четаева, а также с помощью линеаризации векторного поля в окрестности особой точки.
Содержание учебной дисциплины
- Элементарные свойства ОДУ и системПереход от уравнения высокого порядка к системе ОДУ 1 порядка. Автономные ОДУ. Переход от неавтономного системы к автономной большей размерности
- Теорема о существовании и единственности решений ОДУТеорема о существовании и единственности решений ОДУ (при определённых условиях на правую часть). Примеры неединственности.
- Продолжение решений ОДУСуществование максимального интервала продолжимости решения. Теорема о продолжении решения до границы компакта.
- Непрерывная зависимость решений ОДУ от параметров и начальных условийТеорема о непрерывной зависимости решений от параметров и начальных условий
- Оператор Коши и группа потока ОДУОператор Коши ОДУ. Преобразования потока автономного ОДУ.
- Гладкая зависимость решений ОДУ от параметровТеорема о гладкой зависимости решений ОДУ от параметров и начальных условий. Теорема о выпрямлении векторного поля
- Метод разделения переменныхРешение ОДУ методом разделения переменных. Методы сведения различных классов ОДУ к уравнениям с разделяющимися переменными.
- Общие свойства линейных ОДУ и их системПродолжение решений линейных ОДУ на область определения правой части. Векторное пространство решений. Фундаментальная матрица решений. Определитель Вронского.
- Линейные ОДУ с постоянными коэффициентами. Экспонента матрицыРешение систем линейных ОДУ с постоянными коэффициентами. Экспонента матрицы. Решение линейных уравнений с квазимногочленами в правой части
- Локальная теория дифференциальных уравнений вблизи особой точкиЛинеаризация системы. Теорема Гробмана-Хартмана.
- Устойчивость решений дифференциальных уравненийРазличные понятия устойчивости особой точки ДУ. Анализ устойчивости с помощью функций Ляпунова и Четаева. Анализ устойчивости по линейной части.
Элементы контроля
- Домашние задания
- Проверочные работы на семинарах
- Коллоквиум
- Экзамен
- Устная сдача задач листков
- Домашние задания
- Проверочные работы на семинарах
- Коллоквиум
- Экзамен
- Устная сдача задач листков
