Бакалавриат
2020/2021
Научно-исследовательский семинар "Гладкие многообразия"
Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»
Статус:
Курс обязательный (Математика)
Направление:
01.03.01. Математика
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
2-й курс, 1, 2 модуль
Формат изучения:
без онлайн-курса
Язык:
русский
Кредиты:
6
Контактные часы:
106
Программа дисциплины
Аннотация
Дисциплина “Гладкие многообразия” посвящена аналитическим и геометрическим аспектом теории гладких многообразий. В результате прохождения курса студенты должны владеть понятиями, изучаемыми в курсе, а также применять их для выполнения операций анализа функций, заданных на многообразии.
Цель освоения дисциплины
- Освоение аналитических и геометрических аспектов теории гладких многообразий.
Планируемые результаты обучения
- Знакомство с определениями и базовыми свойствами кривых и поверхностей в R^n. Знакомство с формулами Френе в R^2 и R^3. Знакомство с теорема о неявной функции. Знакомство с определением касательного пространство к поверхности в R^n.
- Знакомство с определением многообразий с помощью атласов, подмногообразий и морфизмов многообразий.
- Знакомство с тремя определениями касательного вектора. Знакомство с определением дифференциала отображения, векторных полей, касательного расслоения, коммутаторов векторных полей.
- Знакомство с определением и базовыми свойствами дифференциальных форм в R^n и на поверхностях в R^n. Знакомство с конструкцией разбиения единицы.
- Знакомство с определением и базовыми свойствами дифференциальных форм на многообразиях. Знакомство с интегрированием дифференциальных форм.
- Знакомство с определением многообразий с краем. Знакомство с формулой Стокса и ее следствиями.
- Знакомство с определением и основными свойствами когомологий де Рама и доказательством их гомотопической инвариантности. Знакомство с леммой Пуанкаре и ее доказательством.
- Знакомство с определением и свойствами производной Ли и дифференциальных идеалов.
- Знакомство с определением и свойствами римановой метрики. Знакомство с римановой связностью на поверхности в R^3.
Содержание учебной дисциплины
- Кривые и поверхности в R^nКривые и поверхности в R^n. Формулы Френе в R^2 и R^3. Теорема о неявной функции (напоминание). Касательное пространство к поверхности в R^n.
- Определение многообразияЗадание многообразий с помощью атласов. Подмногообразия. Морфизмы многообразий.
- Касательные пространства и векторные поляТри определения касательного вектора. Дифференциал отображения. Векторные поля. Понятие касательного расслоения. Коммутаторы векторных полей.
- Дифференциальные формы на R^nЭлементы линейной алгебры. Дифференциальные формы в R^n и на поверхности в R^n. Разбиение единицы.
- Дифференциальные формы на многообразияхДифференциальные формы на многообразиях. Интегрирование дифференциальных форм.
- Формула СтоксаМногообразия с краем. Формула Стокса. Следствия.
- Когомологии де РамаКогомологии де Рама и их гомотопическая инвариантность. Лемма Пуанкаре.
- Производная ЛиПроизводная Ли. Дифференциальные идеалы.
- Теорема ФробениусаРаспределения. Теорема Фробениуса (формулировка)
- Римановы многообразияРиманова метрика. Риманова связность на поверхности в R^3.
- Связности в векторных расслоенияхКовариантное дифференцирование в общем случае, символы Кристоффеля.
Промежуточная аттестация
- Промежуточная аттестация (2 модуль)0.25 * Коллоквиумы + 0.15 * Контрольные работы + 0.3 * Сдача листков + 0.3 * Устный экзамен
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Математический анализ. Т. 1: ., Зорич, В. А., 2015
- Математический анализ. Т. 2: ., Зорич, В. А., 2015
Рекомендуемая дополнительная литература
- Новиков С.П., Тайманов И.А. - Современные геометрические структуры и поля - Московский центр непрерывного математического образования - 2005 - 584с. - ISBN: 978-5-94057-102-6 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/9379