Теоретическая механика

Бакалавриат 2020/2021

Статус: Курс обязательный (Прикладная математика)

Направление: 01.03.04. Прикладная математика

Кто читает: Департамент прикладной математики

Где читается: Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова

Когда читается: 2-й курс, 3, 4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Аксенов Сергей Алексеевич, Выборный Евгений Викторович, Гуськова Мария Сергеевна, Захарьев Иван Юрьевич, Миколаенко Вадим Витальевич

Язык: русский

Кредиты: 4

Контактные часы: 80

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

В ходе освоения дисциплины "Теоретическая механика" студенты познакомятся с основными методами классической механики, получат опыт в построении математических моделей и применении методов теоретической механики для решения инженерных задач, что поможет повысить инженерно-техническую грамотность.

Цель освоения дисциплины

Знакомство с основными методами классической механики
Формирование навыков классификации типов исследуемых систем и процессов и выбора соответствующих математических методов
Формирование навыков построения математических моделей и применения методов теоретической механики для решения инженерных задач
Повышение инженерно-технической грамотности

Планируемые результаты обучения

Знание основных понятий, определений, законов и принципов классической механики
Знание основных теорем статики, кинематики и динамики точки и механической системы
Знание основных положений аналитической механики
Умение составлять расчетные схемы для элементов конструкций
Умение применять законы и принципы механики для анализа механических процессов
Умение корректно формализовывать задачи моделирования и анализа механических систем и процессов
Владение навыками построения математических моделей, описывающих поведение механических систем и процессов
Владение навыками применения классических методов теоретической механики к анализу математических моделей формализованных материальных объектов

Содержание учебной дисциплины

Кинематика точки
Задачи кинематики. Радиус-вектор и координаты точки. Скорость и ускорение точки. Траектория движения. Трёхгранник Френе. Разложение скорости и ускорения в осях естественного трехгранника. Криволинейные координаты точки. Составляющие скорости и проекции ускорения на оси криволинейной системы координат.
Движение систем координат
Описание движения одной системы координат относительно другой. Матрица направляющих косинусов и ее свойства. Активная и пассивная точки зрения на ортогональное преобразование. Сложение поворотов. Теорема Эйлера о конечном повороте. Угловая скорость и угловое ускорение. Связь угловой скорости и матрицы поворота. Формула Эйлера для определения скоростей точек твердого тела. Распределение ускорений точек твердого тела (формула Ривальса). Кинематические инварианты. Мгновенная винтовая ось. Кинематический винт. Плоскопараллельное движение.
Сложное движение точки
Неподвижная и движущаяся системы координат. Абсолютное, относительное и переносное движения точки. Теорема о сложении скоростей при сложном движении точки, относительная и переносная скорости точки. Теорема Кориолиса о сложении ускорений при сложном движении точки, относительное, переносное и кориолисово ускорения точки.
Кинематика несвободной системы
Классификация связей. Ограничения, накладываемые связями на скорости и ускорения точек системы. Возможные и виртуальные перемещения. Число степеней свободы. Обобщенные координаты. Выражение скоростей ускорений и виртуальных перемещений через обобщенные координаты.
Равновесие несвободной системы
Активные силы и реакции связей. Идеальные связи. Общее уравнение динамики (принцип Даламбера-Лагранжа). Элементарная работа. Принцип виртуальных перемещений. Выражение принципа виртуальных перемещений в обобщенных координатах. Обобщенные силы. Внутренние и внешние силы. Главный вектор и главный момент сил системы относительно точки и оси. Перенос полюса главного момента сил системы. Критерий эквивалентности систем сил, приложенных к системе.
Статика твердого тела
Необходимое и достаточное условие равновесия системы сил, приложенных к твердому телу. Критерий эквивалентности сил, приложенных к твердому телу. Равнодействующая. Теорема Вариньона о равнодействующей и ее следствия. Равновесие параллельных сил. Пара сил. Теорема Пуансо. Статические инварианты. Приведение системы сил к динаме.
Основы динамики точки и системы
Основные динамические характеристики. Кинетическая энергия. Теорема Кенига. Теорема об изменении кинетической энергии. Теоремы об изменении количества движения и момента количества движения. Потенциальные системы сил и силовые поля. Потенциальная энергия. Потенциал в обобщенных координатах. Полная энергия консервативной системы. Основные законы динамики при движении в неинерциальных системах отсчета и при движении относительно центра масс.
Основы аналитической механики
Вывод уравнений Лагранжа второго рода. Анализ выражения для кинетической энергии. Уравнения Лагранжа в случае потенциальных сил. Функция Лагранжа. Теорема об изменении полной механической энергии голономной системы. Гироскопические силы. Диссипативные силы. Функция Рэлея. Обобщенный потенциал. Натуральные и ненатуральные системы. Преобразование Лежандра. Функция Гамильтона. Уравнения Гамильтона. Интеграл Якоби. Первые интегралы уравнений движения. Скобки Пуассона. Теорема ЯкобиПуассона. Уравнения Уиттекера и Якоби.
Движение около положения равновесия
Устойчивость консервативной системы. Теорема Лагранжа-Дирихле. Малые колебания системы около положения равновесия
Геометрия масс
Центр масс. Момент инерции системы относительно оси. Радиус инерции. Теорема Гюйгенса-Штейнера. Тензор и эллипсоид инерции. Главные оси инерции. Выражения для кинетической энергии и кинетического момента твердого тела.
Движение твердого тела с неподвижной точкой
Сложное вращение: абсолютные, относительные и переносные угловая скорость и угловое ускорение тела. Сложение угловых скоростей и угловых ускорений. Углы Эйлера. Кинематические уравнения Пуассона и Эйлера.
Элементы небесной механики
Задача двух тел. Формулы Бине. Уравнение орбиты. Параметры орбиты. Законы Кеплера. Кеплеровы элементы орбиты. Ограниченная задача трёх тел. Точки либрации. Линеаризация ограниченной задачи трех тел. Устойчивое и неустойчивое многообразия. Квазипериодические орбиты вокруг точки либрации.

Элементы контроля

Контрольная работа 1
Промежуточная аттестация (3 модуль)
Экзамен проводится оффлайн в аудитории.
Итоговая аттестация
Экзамен проводится оффлайн в аудитории.
Контрольная работа 2
Самостоятельная работа 1
Самостоятельная работа 2
Аудиторная работа 1
Аудиторная работа 2

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (3 модуль)
0.17 * Аудиторная работа 1 + 0.34 * Контрольная работа 1 + 0.32 * Промежуточная аттестация (3 модуль) + 0.17 * Самостоятельная работа 1
Промежуточная аттестация (4 модуль)
0.05 * Аудиторная работа 1 + 0.05 * Аудиторная работа 2 + 0.51 * Итоговая аттестация + 0.1 * Контрольная работа 1 + 0.1 * Контрольная работа 2 + 0.09 * Промежуточная аттестация (3 модуль) + 0.05 * Самостоятельная работа 1 + 0.05 * Самостоятельная работа 2

Программа дисциплины