Случайные процессы

Бакалавриат 2020/2021

Статус: Курс по выбору (Совместная программа по экономике НИУ ВШЭ и РЭШ)

Направление: 38.03.01. Экономика

Кто читает: Департамент статистики и анализа данных

Где читается: Факультет экономических наук

Когда читается: 4-й курс, 1, 2 модуль

Формат изучения: с онлайн-курсом

Преподаватели: Панов Владимир Александрович

Язык: русский

Кредиты: 6

Контактные часы: 48

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Курс по случайным процессам ориентирован на слушателей, знакомых с основами теории вероятностей и желающих освоить основные понятия, теоретические факты и практические методы работы со случайными величинами, изменяющимися во времени. Такие величины возникают естественным образом во многих прикладных областях при попытке описать объекты, на поведение которых оказывают влияние большое количество факторов, не поддающихся описанию детерминированными функциями от времени. Основными задачами курса являются знакомство слушателей с наиболее важными типами случайных процессов (гауссовские и Марковские процессы, Броуновское движение, процессы восстановления и др.) и освоение основных методов анализа и моделирования случайных процессов.

Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины «Случайные процессы» - вооружить студентов теорети-ческими знаниями и практическими навыками, необходимыми для применения теории случайных процессов при исследовании сложных динамических систем в экономике.

Планируемые результаты обучения

Понимает определение случайного процесса, строит траектории процессов.
Умение пользоваться формулой Итой для вычисления стохастических интегралов.
Вычисляет математическое ожидание считающего процесса по распределению приращений процесса восстановления
Понимание основных свойств пуассоновских процессов
Определяет тип цепи Маркова, даёт классификацию состояний цепи.
Понимание основные понятия теории гауссовских процессов
Понимание основных свойств Броуновского движения.
Понимание сути различных свойств случайных процессов.

Содержание учебной дисциплины

Основные понятия теории случайных процессов
В этом разделе будет дано определение случайного процесса, конечномерных распределений, траекторий случайных процессов
Процессы восстановления
Будет дано определение процессов восстановления, считающих процессов. Будет выведено уравнение восстановления и показан метод вычисления математического ожидания считающего процесса по распределению интервала времени между моментами восстановления.
Однородные и неоднородные процессы Пуассона, составные пуассоновские процессы
Будут даны различные определения однородного процесса Пуассона, показана их эквивалентность. Особое внимание уделено применению составных процессов Пуассона в страховании
Цепи Маркова
Будет дана классификация состояний конечной цепи Маркова, сформулирована и доказана эргодическая теорема
Гауссовские процессы
В данном разделе подробно обсуждается понятие гауссовского вектора и гауссовского процесса
Броуновское движение
Даётся несколько эквивалентных определений броуновского движения, доказывается их эквивалентность. Доказываются свойства Броуновского движения - конечность квадратической вариации, недифференцируемость траекторий, наличие непрерывной модификации
Стационарность, непрерывность и эргодичность случайных процессов
Будут даны определения стационарных в широком и узком смыслах процессах. Будет сформулирован критерий Колмогорова о непрерывных модификациях
Стохастическое интегрирование. Формула Ито
В данном разделе рассматривается 4 вида стохастических интегралов. Доказывается формула Ито и показывается применение этой формулы для стохастического моделирования и подсчёта стохастических интегралов

Элементы контроля

Письменная контрольная работа
Оценка за работу в течение семестра
При выставлении оценки за работу в течение семестра учитывается активность на занятиях и качество выполнения домашних работ. В случае пропусков занятий в количестве 6 и более пар итоговая оценка уменьшается на 20%
Итоговая контрольная работа
Вторая контрольная работа

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
0.2 * Вторая контрольная работа + 0.4 * Итоговая контрольная работа + 0.2 * Оценка за работу в течение семестра + 0.2 * Письменная контрольная работа

Программа дисциплины