Симметрии, представления и комплексный анализ

Магистратура 2020/2021

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Курс адаптационный (Математические методы моделирования и компьютерные технологии)

Направление: 01.04.02. Прикладная математика и информатика

Кто читает: Департамент прикладной математики

Где читается: Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова

Когда читается: 1-й курс, 1, 2 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Новикова Елена Михайловна

Прогр. обучения: Математические методы моделирования и компьютерные технологии

Язык: русский

Кредиты: 4

Контактные часы: 60

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Курс «Симметрии, представления и комплексный анализ» знакомит студентов с алгебрами симметрий, в том числе, нелиевского типа, возникающими в широко известных физических моделях. В рамках курса изучаются методы исследования этих алгебр. Для квантовых алгебр изучается конструкция неприводимых представлений в гильбертовых пространствах полиномов и соответствующие когерентные состояния. Для пуассоновых алгебр проводится анализ симплектических листов. На модельных примерах демонстрируется метод решения спектральных задач с помощью когерентного преобразования, т.е. интегрального преобразования, ядром которого является когерентное состояние.

Цель освоения дисциплины

Ознакомление студентов с алгебрами симметрий, в том числе, нелиевского типа, возникающими в широко известных физических моделях, методами исследования этих алгебр (построение неприводимых представлений и когерентных состояний для квантовых алгебр; анализ симплектических листов для соответствующих пуассоновых алгебр), методом решения спектральных задач с помощью когерентного преобразования (т.е. интегрального преобразования, ядром которого является когерентное состояние)

Планируемые результаты обучения

Знает наиболее известные интегрируемые системы и соответствующие алгебры симметрий.
Умеет строить неприводимые представления и когерентные состояния алгебр со структурой "рождение-уничтожение".
Знает схему метода когерентного преобразования.

Содержание учебной дисциплины

Алгебры симметрий
Одномерный гармонический осциллятор и алгебра Гейзенберга. Двумерный изотропный гармонический осциллятор и алгебра su(2). Сингулярный осциллятор и алгебра su(1,1).Алгебра SO(4) для четырехмерного изотропного гармонического осциллятора и для движения частицы в кулоновском поле. Регуляризация Кустаанхеймо.Нелиевские подалгебры симметрий в задачах квантовой механики. Структура «рождение-уничтожение». Вакуумный вектор. Операторы Казимира. Эффект Зеемана и алгебра с квадратичными коммутационными соотношениями.Резонансные алгебры. Алгебра резонансного эффекта Зеемана-Штарка. Атом-монополь в магнитном поле (модель МиК-Кеплера)
Пуассонова структура и неприводимые представления динамической алгебры
Основные понятия: представление алгебры в гильбертовом пространстве; векторная и операторная неприводимость и их связь; размерность представления; эквивалентные представления; когерентные состояния; воспроизводящее ядро; воспроизводящая мера. Метод построения неприводимых представлений алгебр (в том числе, нелиевских) со структурой «рождение-уничтожение». Конструкция когерентных состояний.Соответствие неприводимых представлений квантовой алгебры и симплектических листов пуассоновой алгебры. Построение неприводимых представлений и когерентных состояний для примеров из темы 1
Когерентное преобразование
Когерентное преобразование спектральной задачи. Общая схема. Точное решение задачи и решение в квазиклассическом приближении. Когерентное преобразование усредненной спектральной задачи для двумерного изотропного ангармонического осциллятора.Когерентное преобразование усредненной спектральной задачи для эффекта Зеемана.Решение усредненной спектральной задачи для эффекта Зеемана в квазиклассическом приближении

Элементы контроля

Домашнее задание
Работа на семинаре
Экзамен
контрольно-измерительные материалы
контрольно-измерительные материалы
Домашнее задание
Работа на семинаре
Экзамен
контрольно-измерительные материалы
контрольно-измерительные материалы

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
0.15 * Домашнее задание + 0.15 * Работа на семинаре + 0.7 * Экзамен

Программа дисциплины