Бакалавриат
2020/2021![Цель освоения дисциплины](/f/src/global/i/edu/objectives.svg)
![Планируемые результаты обучения](/f/src/global/i/edu/results.svg)
![Содержание учебной дисциплины](/f/src/global/i/edu/sections.svg)
![Элементы контроля](/f/src/global/i/edu/controls.svg)
![Промежуточная аттестация](/f/src/global/i/edu/intermediate_certification.svg)
![Список литературы](/f/src/global/i/edu/library.svg)
Введение в современную топологию
Статус:
Курс по выбору (Совместная программа по экономике НИУ ВШЭ и РЭШ)
Направление:
38.03.01. Экономика
Кто читает:
Отдел сопровождения учебного процесса в Совместном бакалавриате ВШЭ-РЭШ
Где читается:
Факультет экономических наук
Когда читается:
4-й курс, 3, 4 модуль
Формат изучения:
без онлайн-курса
Преподаватели:
Медведев Владимир Олегович
Язык:
русский
Кредиты:
6
Контактные часы:
64
Программа дисциплины
Аннотация
Курс будет посвящён двумерным поверхностям. На этом наглядном примере мы познакомимся с некоторыми важными понятиями топологии: • эйлерова характеристика; • гомотопия и изотопия; • накрытие; • фундаментальная группа, а также с векторными полями — ключевым понятием теории дифференциальных уравнений. Мы простым и наглядным способом докажем двумерный вариант теоремы Брауэра о неподвижной точке, которая используется, например, в доказательстве теоремы Нэша о равновесии.
Цель освоения дисциплины
- Развить геометрическую интуицию у слушателей, расширить их кругозор, познакомить с важными понятиями и некоторыми методами топологии, алгебры, дифференциальной геометрии, теории дифференциальных уравнений.
Планируемые результаты обучения
- Знает определение топологического пространства и основных классов пространств
- Знает определение и основные свойства наиболее употребительных топологических пространств (сферы, грассманианы, пространства флагов и т.п.)
- Умеет пользоваться основными операциями над топологическими пространствам
- Умеет задавать топологические пространства в виде клеточных; вычислять гомотопические и гомологические инварианты пространств по их клеточному разбиению
- Владеет понятиями расслоения и точной последовательности
Содержание учебной дисциплины
- Тема 1. Понятие двумерного многообразия. Гомеоморфизм. Примеры двумерных поверхностей. Проективная плоскость
- Тема 2. Инварианты двумерных поверхностей: число связных компонент края, ориентируемость, эйлерова характеристика.
- Тема 3. Склейка поверхности из многоугольника и классификация двумерных поверхностей.
- Тема 4. Векторные поля на поверхностях, индекс векторного поля относительно кривой. Связь с эйлеровой характеристикой.
- Тема 5. Теорема Брауэра о неподвижной точке (двумерный случай).
- Тема 6. Группа первых гомологий.
- Тема 7. Универсальные накрытия.
- Тема 8. Фундаментальная группа.
- Тема 9. Примеры (неуниверсальных) накрытий.
Элементы контроля
- Домашние задания
- Итоговая контрольная работа
- Промежуточная контрольная работа
- Работа на занятиях
- Домашние задания
- Итоговая контрольная работа
- Промежуточная контрольная работа
- Работа на занятиях
Промежуточная аттестация
- Промежуточная аттестация (4 модуль)0.4 * Домашние задания + 0.3 * Итоговая контрольная работа + 0.2 * Промежуточная контрольная работа + 0.1 * Работа на занятиях
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Виро О.Я., Иванов О.А., Нецветаев Н.Ю. - Элементарная топология - Московский центр непрерывного математического образования - 2010 - 352с. - ISBN: 978-5-94057-587-0 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/9313
- Примаков, Д. А. Геометрия и топология [Электронный ресурс] : учеб. пособие / Д. А. Примаков, Р. Я. Хамидуллин. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: МФПА, 2011. - 272 с. (Университетская серия). - ISBN 978-5-902597-13-1. - Режим доступа: http://znanium.com/catalog/product/451172
Рекомендуемая дополнительная литература
- Скопенков А.Б. - Алгебраическая топология с геометрической точки зрения - Московский центр непрерывного математического образования - 2016 - 270с. - ISBN: 978-5-4439-2477-9 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/71854
- Топология для бакалавров математики: Учебное пособие / Игнаточкина Л.А. - М.:Прометей, 2016. - 88 с. ISBN 978-5-9907453-1-5