Бакалавриат
2020/2021
Механика
Статус:
Курс по выбору (Математика)
Направление:
01.03.01. Математика
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
2-й курс, 3, 4 модуль
Формат изучения:
без онлайн-курса
Язык:
русский
Кредиты:
5
Контактные часы:
104
Программа дисциплины
Аннотация
В курсе механики студенты познакомятся с математическими основами одной из важнейших областей физики - классической механики. На примере простых и фундаментальных моделей будут объяснены принципы лагранжева и гамильтонова подхода в теоретической механике и продемонстрированы приложения современного математического аппарата: вариационного исчисления, теории дифференциальных уравнений, теории групп и алгебр Ли. Полученные при освоении дисциплины знания и навыки пригодятся в дальнейшем при освоении курсов вариационного исчисления и гамильтоновой механики, дифференциальной геометрии и классической теории поля, квантовой механики и квантовой теории поля.
Цель освоения дисциплины
- Познакомить студентов с принципами построения математических моделей физических явлений на примере механических систем с конечным числом степеней свободы. Выработать практические навыки обращения с математическим аппаратом теоретической механики: уравнениями Эйлера-Лагранжа и уравнениями Гамильтона; основами вариационного исчисления и принципом наименьшего действия; методами исследования симметрий физических моделей и теоремой Э. Нётер; пуассоновыми структурами.
Планируемые результаты обучения
- - Умение строить простейшие механические модели, определять число степеней свободы, структуру конфигурационного пространства, выписывать уравнения движения
- Решение уравнения Ньютона для одномерной системы через закон сохранения энергии, умение строить и анализировать качественный фазовый портрет одномерной механической системы.
- Умение переходить к криволинейным координатам (цилиндрическим и полярным), находить траектории движения в Ньютоновом гравитационном потенциале, умение выводить законы Кеплера
- Умение строить лагранжиан данной механической модели, выписывать уравнения Эйлера-Лагранжа, находить простейшие законы сохранения по циклическим координатам, строить энергию системы
- Умение находить вариацию действия системы и недостающие граничные условия, умение находить симметрии действия и строить по ним Нетеровские интегралы движения
- Умение строить гамильтониан системы, находить и решать гамильтоновы уравнения движения.
- Получение практического навыка вычисления скобок Пуассона различных физических величин, умение находить ограничение вырожденных скобок на симплектические листы, умение выполнять канонические преобразования по заданной производящей функции.
- Умение находить группу симметрий по интегралам движения, умение вычислять инфинитезимальные преобразования наблюдаемых под действием группы симметрий.
Содержание учебной дисциплины
- Основные понятия классической ньютоновской механики.Напоминается формализм классической механики в формулировке Ньютона. Понятие о системе отсчета. Инерциальные системы отсчета, 3 закона Ньютона, принцип относительности Галилея. Силы разной природы, потенциальные силы.
- Одномерные системыМеханика систем с одной степенью свободы. Потенциальность одномерной силы, полная механическая энергия, фазовый портрет механической системы.
- Движение в центральном полеЦентрально симметрическое потенциальное поле, закон сохранения момента импульса, задача Кеплера
- Принцип Даламбера. Уравнения Эйлера-ЛагранжаПотенциальные силы, работа потенциальных сил, понятие об идеальных связях, принцип Даламбера и переход к лагранжеву описанию механики
- Вариационные методы. Принцип наименьшего действия и теорема НетерВариационная формулировка лагранжевой механики: функционал действия, его экстремум. Граничные задачи. Симметрии механической системы и интегралы движения. Первая теорема Э.Нетер
- Гамильтонов формализм.Переход к гамильтонову описанию механики посредством преобразования Лежандра. Обобщенные импульсы, Гамильтониан, гамильтоновы уравнения движения. Эквивалентность двух способов описания механики.
- Скобки Пуассона и канонические преобразованияСкобки Пуассона и их свойства. Вырожденные и невырожденные скобки, пуассонов центр, Теорема Дарбу. Вариационный принцип в Гамильтоновом формализме. Канонические преобразования.
- Законы сохранения в гамильтоновом формализме.Интегралы движения и теорема Нетер в гамильтоновом формализме. Обратная теорема Нетер, интегралы движения как инфинитезимальные генераторы группы симметрий. Интегралы движения в инволюции и точная интегрируемость по Лиувиллю.
Элементы контроля
- Домашние заданияОценка за ДЗ может превышать 10. Максимальная возможная оценка - 11.1
- Пятиминутные контрольные на семинареОценка может превышать 10 баллов
- Контрольные работы
- Письменный экзамен
